MKT教学取向下的高中数学教学

蒋珊珊

[摘 要] MKT是“面向教学的数学知识”，其强调以有效的数学知识质量支撑教学，强调在教学的视角下关注数学知识. MKT教学取向下，有一些容易忽视的问题会被凸显并能彰显其意义，如对学生在数学学习困难中的关注，如教师的数学学科知识质量等. 理解“面向教学的数学知识”，需要教师从学生知识建构的角度思考知识的发生过程，从而让数学知识真正具有教学意义. MKT理论还可以促进教师的专业成长.

[关键词] 高中数学；数学教学；MKT理论；等差数列

MKT是Mathematical Knowledge for Teaching的简称，是“面向教学的数学知识”的意思，其包括“数学学科知识”与“数学学科教学知识”两个方面. MKT之所以能够引发广大数学教学研究者以及一线教师的兴趣，一个很重要的方面，就是因为其秉承了一个观点，即在深刻理解学科知识的基础之上能够形成对教育教学的见解. 这对于传统的数学教学理解来说还是有一定的启发意义的. 传统的高中数学教学所坚持的一个重要观念是面向数学知识进行教学，强调数学知识对教学的导向性. 而MKT则是强调学科知识对学科教学的支撑作用，也强调学科知识在学科教学的环境中的特殊理解，这就使得教师在数学教学中可以重新建立一个角色，即认真研究数学学科知识并发掘其教学意义的角色. 基于这样的理解，笔者对一些重要数学概念的教学进行了尝试，取得了一些认识. 此处试以“等差数列”的教学为例，谈谈笔者的收获.

[?] MKT理论强调对数学学习困难的关注

教学是面向学生的，高中数学教学横比异于其他学科的特征在于其高度繁杂、高度抽象，要真正建构起完整的高中数学知识的结构是很不容易的；纵比相对于义务教育阶段的数学学习而言，其表现出来的逻辑体系是此前的数学知识所难以比拟的. 因此，无论是横比还是纵比，学生在数学学习中所表现出来的困难都是不可小觑的. MKT理论强调对学生在数学学习中表现出来的困难要高度关注，并认为良好的教学水平表现之一，就是对学生学习困难的有效预测和诊断.

以“等差数列”为例，学生在建构这一概念的时候可能会遇到什么困难？经验与研究表明，学生对于等差数列的简单例子是可以顺利建构理解的，因为这可以由他们生活中所熟知的诸如奥运会举行的年份、自然数集合等事例来支撑. 但是对于用数学语言来描述等差数列是存在困难的，尤其是在定义首项、公差和通项的基础上去对等差数列的概念作一个抽象的表述，以及通过等差数列的通项公式来描述等差数列，对于超过一半的学生来说都是一个不小的挑战. 而学生出现这样的困难也是正常的，因为即使是高中的学生，他们在数学学习中也更擅长于对包含具体数据的数学事例进行思维加工，而对于概括性较强的、以符号表示某种数学规律的数学语言加工比较困难.

在这样的基础上再次思考MKT的本义即“面向教学的数学知识”，可以发现学生在等差数列学习中所遇到的困难应当寻找一定的化解途径. 对此，笔者的分析是：从纯粹数学的意义来看，等差数列的概念“一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数”的表述，是高度概括的；而从教学的视角来看，这一知识的形成过程是需要精心设计的，而结合学生的思维特点，让学生寻找生活中的等差数列事例并通过分析、综合的学习过程，去逐步获得对等差数列的层次越来越高的概括，以逐步帮学生从自己的经验走向抽象的数学定义，是有效的教学方式.

在具体的实践中，学生在举例环节是没有问题的，在分析、综合的环节，往往通过一两个例子的分析，再通过第三或第四个例子的佐证，也都能发现这些等差数列的例子中后一项与前一项的差为常数. 于是进入概念形成的关键环节，此时笔者将重心放在通项公式的探究上，这个探究从一个问题开始：既然等差数列表现出一种强烈的规律性，那么在表示等差数列的时候，除了将其一一列出之外，还有没有一种概括性更高的办法，不用写每一项，而是用一个符号能够代表每一项呢？这个问题通俗易懂，也符合学生此时的思维需要——学生的内心实际上也是有类似的想法的. 而有了这个想法之后，对于用首项和公差来获得通项公式的关键其实就在于首项的加入，因为公差是一目了然的，只要引导学生发现并概括其等差规律加上首项，即可完成对通项的描述.

在这样的教学思路中，基于对学生学习存在的困难的关注，进而确定教学的重点，使得等差数列的概念及通项公式的构建，成为一个适切学生学习需要的过程，有效地彰显了MKT理论的指导意义.

[?] 数学教师学科知识的质量影响着教学

实际上，MKT理论不仅是一个指导教师教学的理论，还是一个指导教师专业成长的理论，很多国内资深的教育专家都对该理论在教师专业成长方面作出了研究. 笔者这里想结合等差数列知识的教学，谈谈如何在该理论之下关注自身的学科知识的质量.

通常情况下，我们认为高中数学教师的知识质量与教学是匹配的，这可以由当前的考试评价看出来. 但是仍然需要注意的是，如果高中数学教師能够对自身的知识结构有一个更高层次的把握，那在教学中必定能够站在一个更高的角度去观察学生的学习，而这正是MKT理论的重要要求. 当然，我们所说的学科知识质量不只是对学科知识的掌握质量，还包括教学视角下的学科知识运用的质量.

等差数列对于绝大多数高中数学教师来说并不是一个高深的知识，很多时候甚至因为其简单而重视不够（毕竟等差数列是数列知识体系中最基本的一个）. 而事实上，无论是从数学发展中来看，还是从学生的数学学习过程来看（MKT理论要求面向教学去建构数学知识，所需要的其实也就是对学生数学学习过程的研究），等差数列都不是想象的那么简单.

比如说，在建构等差数列概念的时候，笔者似乎很少看到将此知识与学生所学的一次函数产生联系的情形，但等差数列的an=a+（n-1）d的表达式与y=kx+b何其像也！而教学经验也表明，在本知识学习的过程中，确实有学生就将两者结合起来了，在学习的过程中就在下面吱唔：咦！怎么与一次函数的表达式有点像？其实这种联系在教师的思维中就应当是存在的；又比如，也很少有教师在教授等差数列的时候能够想到矩阵的知识，但实际上等差数列的通项公式是可以表示成矩阵的，而这也应当成为教师等差数列知识结构中的知识.

像这样的例子还有很多，可以肯定地讲，教师大脑中关于等差数列的知识越丰富，那知识的质量也就越高，在教学中也就更有可能高屋建瓴. 在这里显然可以看到的是，像等差数列知识的质量提升，不仅来源于更高层次的系统性知识的学习，也在于对学生学习过程的关注. 做到这两点，教师知识质量便真的能够服务于教学，从而也就可以真正做到“面向教学”去建构“数学知识”. 于是这里也就涉及对“面向教学的数学知识”的进一步的理解.

[?] “面向教学的数学知识”的数学教学理解

“面向教学的数学知识”与“数学知识”的理解显然不完全相同，因为“面向教学”的条件限定，决定了这是隶属于教师教育教学专业的数学知识的掌握，其与纯粹的数学研究视角下数学知识的掌握显然并不相同. 而这其中最大的不同在于，MKT理论所说的“面向教学的数学知识”是要赋予“数学知识”以“面向教学”的意义的，也意味着教师要关注的不只是数学知识的形成过程，更要在学生的认知视角下发现数学知识是如何形成的.

等差数列在数学史中的形成过程较为复杂，不同文献给出的解释也有所不同，但这种对数学史及其细节的追究并不影响等差数列的教学，因为对于教师来说，我们更需要关注的是学生在学过了集合、函数、数列等基本概念的基础上，如何有效地构建出等差数列的概念，并能够用高度抽象的文字语言、公式语言来描述等差数列. 只要解决了这个问题，等差数列这一“数学知识”就是真正的“面向教学”了.

也因此，MKT理论下的教师，更多要关注的其实是学生思维中数学知识的形成过程，当然如上面第二点所说，这一过程的关注离不开教师的知识质量这一基本面. 但无论如何，“面向教学”才是核心，才是方向性引领的关键. 而根据笔者的经验，用MKT理论视角来研究高中数学教学，还是需要有一定的层次性的，教师占有了一个知识，或者有了一个新发现之后，要思考如何将其有效地纳入数学教学，这也是一个具有挑战性的方面. 像上面提到的等差数列的通项公式与一次函数的形似，就可以成为教学的一个基础；而像其与矩阵的关系，只适宜作为教师的一种知识架构，想向学生传递是需要慎重考虑的.

总之，高中数学教学中基于MKT理论视角来研究教学，是一个非常有益的尝试，教学作为一种特殊的师生交流活动，其意义可以在MKT理论视角下得到更清晰的映照.