促进儿童数学理解的策略研究

北京市顺义区教育研究和教师研修中心 张秋爽

促进儿童数学理解的策略研究

北京市顺义区教育研究和教师研修中心 张秋爽

张秋爽北京市顺义区教育研究考试中心小学数学教研员，吴正宪小学数学教师工作站核心组成员，北京儿童教育研究所兼职教研员，中学高级教师，特级教师，北京市学科带头人，教育硕士学位，中国教育学会小数专委会先进工作者。曾参加过教育部远程培训、教育部西部农远工程、教育部国培（小学数学）、新课标解读等项目，作为主讲教师；作为副主编或编委参与了《团队研修的实践探索》《听吴正宪老师上课》《和吴正宪老师一起读数学新课标》等10本书的编写。先后去日本、澳门和国内10多个省市交流，指导教师参与北京市、中国教育学会课堂教学观摩获一等奖；参与的课题获北京市基础教育教学成果一等奖、首届教育部基础教育成果一等奖、首届基础教育科研成果一等奖。

会解题、会计算、会证明，不是数学学习的全部，数学理解要求学习者还要进一步反思为什么要这样做、怎样做，运用了什么样的思想方法等。课题从数学理解的内涵、价值，促进儿童数学理解的策略以及如何评价儿童数学理解的程度和层次等方面进行了尝试。数学理解的实践研究有助于教师更新教育理念，落实课改精神，改变教与学的方式，尊重学生，提高教师和学生的反思能力，帮助师生更好地理解数学知识，在学生经历知识的形成过程中，促进学生对知识的整体构建，提升儿童的数学素养。

数学理解内涵 策略评价 走向

目前的课堂教学中，很多教师为了应付考试，过于强调对定义、定理等的灌输与记忆，不注重让儿童体验知识发生、发展、运用的过程。思想上按部就班地重复练习，最终只是知道数学，而不能真正地理解数学、运用数学。这种教学上常采用的“题海战术”，不仅让学生感到筋疲力尽，根本无法深入思考、理解，造成儿童理解水平不高，甚至对数学感到厌恶，而且他们的数学思维得不到有效发掘，数学思想方法也得不到有效利用，最终导致儿童对问题只会一题一解地个别解决，忽视解题的思维过程。

会解题、会计算、会证明，不是数学学习的全部，数学理解要求学习者还要进一步反思为什么要这样做、怎样做，运用了什么样的思想方法；还要把学习的视野拓展到数学家在发现数学知识的过程中经历的思想变化、数学发展的文化、数学本质等。尊重学生，提高教师和学生的反思能力，帮助学生更好地理解数学知识，促进学生对知识的整体构建，帮助学生经历知识的形成过程，从而促进学生数学素养的提高。在小学数学课堂教学中，让儿童获得数学理解的策略有哪些呢？

一、借助经验，重新建构新知识的学习，让数学理解更容易

有意义的数学学习就是引导儿童对生活中的“数学现象”进行“重新解读”。课程规定的数学知识，对儿童来说并不是“全新的知识”，在一定程度上是一种“旧知识”。新知识大都可以在儿童的生活经验中找到原型，在知识经验中找到生长点。

比如：小学三年级中的“重叠问题”，也就是我们常说的“集合问题”，对于低年级学生来说比较抽象，甚至难于理解。如何使儿童产生亲切感，能够比较深刻地理解数学，把似乎遥远的数学变得“触手可及”，把抽象的数学变得“直观可见”，使之爱学、能学、会学呢？教学中，我们想办法调动并激活儿童原有的经验，走近数学，理解数学。

上课伊始，我们就从儿时熟悉的“排队问题”开始引入新知识的学习。

“李明同学在一列队伍中，从前边数他是第5个，从后边数他也是第5个。这列队伍一共有多少人？”课堂上出现了三种答案，分别是10人、11人、9人。教师不动声色，只是追问了一句：“怎样证明你的结论是正确的，你们有什么好办法解释吗？”学生们有的摆小棒，有的画圈圈，有的写算式计算……

直观的图画诠释着学生们对数学的理解，图形与算式相结合，使抽象的数学变得直观、清晰，便于理解。寻找生活原型，通过对各种不同结果的直观诠释，为即将开始后续“集合问题”的学习奠定了重要的基础。这些学前积累下来的生活经历，在小学阶段的数学学习中获得重新认识和解读。我们认为，儿童数学学习就是对原有经验的重新建构和解读。

二、重视直观，让儿童知其然更知其所以然

在小学教学中，概念的理解、法则的习得、问题的解决等都离不开直观，重视直观，处理好直观和抽象之间的关系，能让学生学得简单、有趣和深刻，做到通过现象看本质。以计算为例，学生不仅会算，更重要的是理解为什么这么算，需要教师在算理直观与算法抽象之间架设一座桥梁，让学生在充分体验中逐步完成“动作思维—形象思维—抽象思维”的发展过程，既要明白怎么算，更要清楚为什么这么算。

三年级学习“乘法的竖式计算”时，如12×3，学生都知道先算二三得六，再算一三得三，这里的三写在十位，是30，结果是36。为什么这么算？就没有别的算法了吗？我们可以让学生经历知识的形成过程，让学生掌握方法性知识。教学简单流程如下：

（1）出示情境：学校举行运动会开幕式，三（1）班有12排，每排3人，一共有多少人？

（2）用图画表示计算的过程。

方法一：

【解读：能够把未知转化为已知去解决，这是学生具有数学素养的体现。把12分成2个6，是一种分与合思想；学生已经学过表内乘除法，三六十八，2个18就是3个12，在学生重新分组的过程中还蕴含着函数的思想；把两个数相乘转化为三个数相乘，是乘法结合律的具体应用，学生虽然没有正式学过，但已经自觉地应用了，这为今后学习乘法结合律提供了感性支撑。】

方法二：

【解读：学生能够运用直观图把两位数乘一位数转化为表内乘法，12可以分成3和9，12还可以分成4和8，12还可以分成5和7；都可以应用表内乘法口诀求出结果，最后合起来。其实，这是乘法分配律的具体应用，乘法分配律对于学生来说，掌握起来比较难，对于难点要早做准备、多举实例、适当分散。更重要的是体现知识之间的内在联系，做到了前有孕伏，后有照应。】

方法三：

【解读：学生把12分成一个十和2个一，似乎看起来与方法二没有区别，也在自觉地应用乘法分配律，实际上是质的飞跃。数的运算过程仍旧是数认识的继续和延伸，数的认识核心思想是十进位值制，所以把12分成10和2就是十进位值制在数运算中的应用。】

（3）比较三种方法的异同点

三种方法都是利用数的分解与组合，把没学过的知识转化成已学过的知识解决问题。三种方法都能解决问题，其中把12分成10和2计算比较简便。

通过几何直观，让学生体会了算法的多样化，理解了竖式计算的算理：先算2个3，再算10个3，合起来就是12个3，掌握计算的方法。这里既有对乘法意义的巩固，也有对数认识中十进位值的应用，尤其是分与合的思想渗透其中，让学生知道计算12×3有很多方法。在这众多方法中哪一种方法是最简便的，让学生经历了知识的形成过程，做到了知其然更知其所以然，掌握了通性通法，为后面学习两位数乘两位数、多位数的乘法做好了铺垫。

三、凸显关系，让数学理解落到实处

在建立新旧知识联系的动态过程中，打破原有的认知平衡，将数学对象的心理表象进行改造、整理甚至重组；通过新旧联系的建立，旧的联系被调整甚至抛弃，进而达到新的平衡，形成新的、更丰富的知识网络，从而也就实现对新的数学对象的理解。“数学概念的理解，是指它成为学习者内部心理网络的一部分……理解的程度是由结构内容联系的数目和强度来确定的。”

斯根普1976年明确提出了事物的理解有两种模式：工具性理解和关系性理解。小学数学的许多概念、法则、定律的学习都是有联系的，教师要创设情境在新授课中获得关系性理解，在复习课上通过梳理提升获得对知识的结构性理解。

以数概念为例，在小学阶段，学生要结合生活情境，认识自然数、小数、分数、负数等数概念。认数的维度有两个层面，一个是数的组成的维度，另一个是结合生活情境认识数，感受数概念。数是由计数单位和个数累加而形成的。1234是由1个千、2个百、3个十和4个一组成的。认数时单位非常重要，个数也不容忽视。我们先来说计数单位，自然数是以1为单位，不断复制、累加得到的；分数就是把“1”均分成若干份，就得到了分数。其中把“1”均分成10份、100份、1000份……后就产生了特殊的分数，也就是一位小数、两位小数、三位小数等。实际上，小数是十进分数，小数和自然数一样，有着相同的认数结构，都体现了十进位值。学生用自己喜欢的方式表示对数概念的理解，尤其是计数单位个数的累加或继续均分的过程，沟通了自然数、小数和分数间的内在联系，有助于学生形成良好的认知结构。

四、举例解释，注重多元表征间互译

对概念的理解体现在学生能用自己的例子解释说明，能从多个角度描述，而且多个角度之间能够相互转化，这样对概念的理解就能做到融会贯通了。

一亿到底有多大？学生都会背：十个一千万是一亿。然而会背就真的知道一亿有多大吗？还需要从生活中寻找例子，让学生获得对数概念的真正理解。一亿张纸摞起来有多高？1万张纸摞起来大约有1米高，以此类推，1亿张纸摞起来大约有1万米，比珠穆朗玛峰还高；一秒点一个小圆点，点60个小圆点需要1分钟，不吃饭不睡觉不玩游戏，点1亿个小圆点需要三年零两个多月，也就是说从你上小学第一天起，到现在四年级开学了，还有一些没点完呢；一枚1元硬币重6克，一亿枚一元硬币重6000吨，相当于1000头大象的体重之和。

请你结合4×8+6×8=（4+6）×8这个算式，解释乘法分配律。（可以画图、举例或从乘法意义等方面进行说明）

（1）从生活事件中寻找数量关系进行解释：

（2）借助几何直观解释：

（3）利用乘法意义解释：

4个8+6个8=10个8。

五、拓展应用，能解决新情境下的问题

数学中许多概念、问题学完之后，能在新情境下灵活应用和迁移，才是创造性理解。也就是我们期待学生会举一反三。在不同情境中能应用知识解决问题的最大价值在于对所学知识的进一步理解和巩固。

课本中“鸡兔同笼”的例题是这样的：

学习了“鸡兔同笼”问题，就能解决自行车和三轮车放在一起的问题，就会做蜘蛛和蝉放在一起的问题，也能处理龟鹤问题，还能解决乒乓球比赛中单打和双打的问题。如：

（1）把21块月饼放入5个盘中，每个大盘放5块，每个小盘放3块，用（）个大盘、（）个小盘正好。

（2）20元和50元纸币共10张，一共是320元，有几张20元的？几张50元的？

（3）蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿。蜘蛛和蝴蝶共有9只，共有腿60条。你知道蜘蛛和蝴蝶各有多少只吗？

（4）乒乓球赛场上有8张乒乓球台。要同时安排26人进行单、双打比赛，应该安排几组进行单打比赛？几组进行双打比赛？

……

数学理解就是从以往关注概念的机械背诵到注重关系性理解。理解数学要求学习者进一步反思与理解为什么要这样做、怎样做，运用了什么样的思想方法等，同时建立良性的数学观，通过数学去理解生活、观察世界，具备较高的数学素养。通过这种方法获得的数学概念、法则更有用、更具理解力。数学理解是实现课堂教学质量“增值”的重要途径。作为一名教育工作者，提升学生对数学的理解层次和能力，让学生能用数学的思维方式解决现实问题，提升生活质量才是数学课堂的正确方向。♪

注：本文系北京教育学会十三五课题“促进小学生数学理解的实践研究”（课题编号sy2016-175）的研究成果。