浅谈求二面角通法

李伟

摘 要：立体几何是中学数学教学的重要内容，也是高考中的必考内容。求二面角作为立體几何的一个难点，也是高考中常考的题型。传统的求二面角的方法既抽象又计算量大，特别是作辅助线，要求空间想象能力很强。因此，找出求二面角的通法也就成了迫切需要解决的问题。

关键词：二面角；法向量；共面

求二面角是立体几何的一个难点，也是高考中常见的题型，传统方法过于抽象，空间向量的引入巧妙地把空间问题数字化。利用空间向量求二面角大小，教材上也介绍了一些方法，然而当二面角的大小不容易分辨是钝角还是锐角时就难以取舍了，下面介绍两种求二面角的通法。

一、利用公共棱法向量的夹角求二面角

当二面角公共棱明显时，如图，AB，CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的夹角大小θ=<■■>，将二面角的大小转化为公共棱法向量的夹角。

例1（2011年高考新课标改编）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设AD=1，则：D（0，0，0） A（1，0，0） B（0，■，0） C（-1，■，0） P（0，0，1）

过A作AM⊥PB，交PB于M；过C作CN⊥PB，交PB于N

设M（x，y，z）

∵M点在PB上，∴■=λ■

（x，y，z-1）=λ（0，■，-1）

x=0y=■z=1-λλ

又AM⊥PB所以■·■=0

解之得x=0y=■z=■，所以M（0，■，■）

同理可得N（0，■，0）

∴■=（1，-■，-■），

■=（-1，0，0）

cos<■，■>=■=-■

所以二面角A-PB-C的余弦值为-■。

二、利用空间法向量的夹角求二面角

当二面角公共棱不明显时，如图，■，■分别是二面角α-l-β 的两个半平面α，β的法向量，则二面角的夹角θ=π-<■，■>，将二面角的大小转化为平面法向量的夹角的补角。

例2（2011年高考新课标改编）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，若PD=AD，求二面角 BC-P-AD的大小。

解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设

AD=1，则：D（0，0，0） A（1，0，0） B（0，■，0） C（-1，■，0） P（0，0，1）

过D作DM⊥面PBC交面PBC于M

过B作BN⊥面PAD交面PAD于N

设M（x，y，z）

∵M点在面PBC上

∴■=λ■+μ■

（x，y，z-1）=λ（0，■，-1）+μ（-1，■，-1）

x=-μy=■（λ+μ）z=1-λ-μ

又DM⊥PB，DM⊥PC

■·■=0■·■=0，解之得x=0y=■z=■

∴M（0，■，■）

同理可求得N（0，0，0）

cos<■，■>=■=-■

所以二面角BC-P-AD的大小为60°

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