球在水平旋转圆盘上的运动分析

窦保英，鲁 晨，黄志豪，李 琳，倪冰清，王春亮,b

(东北师范大学 a.物理学院;b.物理学国家级实验教学示范中心(东北师范大学)，吉林 长春 130024)

球在水平旋转圆盘上的运动分析

窦保英a，鲁 晨a，黄志豪a，李 琳a，倪冰清a，王春亮a,b

(东北师范大学 a.物理学院;b.物理学国家级实验教学示范中心(东北师范大学)，吉林 长春 130024)

研究了轻质球在水平旋转的圆盘上做无滑滚动时的运动情况,探究了圆盘转速、轻质球初始位置和速度等条件的影响. 实验结果表明：小球在圆盘上做圆周运动，其运动周期是圆盘运动周期的7/2倍(实心球)或5/2倍(空心球)，运动轨迹与初始时刻小球释放的位置、速度和圆盘的角速度有关.

矢量分析；无滑滚动；运动轨迹

当把轻质小球放在水平旋转的圆盘上，会发生有趣的现象：物体可以在圆盘上运动而不离开圆盘. 如果小球在圆盘上做无滑滚动，那么当球被放置在转盘某一位置时，小球会做圆周运动[1-2]. 小球运动的分析需要综合运用理论力学中的许多知识，因此这既是一个有趣的小实验，又是一道综合性很强的力学题目，2016年国际青年物理学家竞赛(IYPT)就将其列为题目之一[3]. 运用物理知识解释小球不离开圆盘运动这一特殊的现象，可以充分锻炼学生解决实际问题的能力. 此类题目探究性较强，属于开放性问题，可切入的角度较多，有利于开展启发式、探究式教学，促进大学物理教学改革[4]. 本文观测了轻质小球在旋转圆盘上的运动，探讨了相关的影响因素，并用刚体力学中的矢量分析对小球的运动进行了理论研究，解释了实验中观察到的现象.

1 实验观测

实验装置如图1所示，采用直径为40 cm的木质圆盘作为转盘，用功率为40 W电机(含调速器)来驱动转盘. 在转盘的边缘有光电门，用于测量转盘转速. 为了减少小球对圆盘转动惯量的影响，实验采用乒乓球作为观测对象.

(a)示意图

(b) 实物图图1 实验装置

实验中，用固定在圆盘正上方的摄像机来拍摄小球的运动，然后在得到的视频中用Tracker软件[5-6]追踪小球的运动，得到小球的运动轨迹.

2 实验结果与讨论

当转盘转速为6 rad/s，小球初始距离圆盘中心约为15 cm时，观察到了图2所示的轨迹：小球刚开始做圆周运动，随着时间的推移，半径逐渐变大，最后飞出圆盘. 经过多次实验，猜想小球运动轨迹半径变大可能与圆盘平面不够水平有关，在理想情况下小球会保持稳定的圆周运动. 为减小实验误差，采用前几圈的轨迹半径并取平均.

图2 小球的运动轨迹

为了研究影响小球运动轨迹的因素，改变圆盘转速，并将小球从同一位置以相同速度释放，发现小球刚开始做圆周运动，后来轨迹半径逐渐变大，与图2相似. 进一步测量在不同转盘角速度下，小球在做圆周运动时的半径ρ，得到的数据如表1所示. 显然，角速度Ω越大，ρ越小，二者是负相关.

表1 不同转速下小球的轨迹半径

对数据进一步拟合，得到图3，小球的轨迹半径和转盘的角速度近似为反比关系，拟合的相关系数为0.993.

图3 小球轨迹半径随转盘角速度的变化

改变初位置时，得到下列结果：

1) 如果将小球在圆盘中心静止释放，那么小球将在该点保持绕自身竖直轴旋转.

2) 在距离圆盘中心约8 cm以内释放小球，且释放前球有旋转时(保证无明显滑动)，球会围绕1个点做圆周运动.

3) 如果在距离圆盘中心超出8 cm的位置释放球，球会飞出圆盘.

此外，还发现球的运动轨迹与小球的初始速度有关. 在保持圆盘转速、小球初始位置不变的前提下，如果增大球的初速度，那么球的运动轨迹半径会变大.

3 理论分析

用矢量分析方法[7]分析旋转圆盘上小球的运动轨迹，建立如图4所示的模型. 圆盘的角速度为Ω，小球的转动惯量为kma2，半径为a，C点为小球的质心，P点为球与圆盘的接触点，小球对C点、P点的角动量分别为LC和LP.

图4 运动模型示意图

假设小球在圆盘上做无滑滚动，则小球在P点的速度和圆盘在P点的速度相等，即

(1)

(2)

LC=kma2(ω1i+ω2j+ω3k),

(3)

球相对P点的角动量等于质心相对P点的角动量与球相对质心的角动量之和，因此

(4)

所以有：

(5)

联立(2)式和式(5)得到:

(6a)

(6b)

将(6a)两边求导得

(7)

将(6b)代入(7)式得

或

(8)

(8)式的解为

(9)

将(9)式代入(6a)式可得

(10)

由此可见，当小球在圆盘上做无滑滚动时，只要满足一定的条件，小球就可以不离开圆盘做圆周运动，圆心(x0,y0)由初始条件决定，实心球的运动周期是圆盘运动周期的7/2，空心球的运动周期是圆盘运动周期的5/2.

小球在圆盘上围绕任意一点做圆周运动，角速度为ω，半径为ρ，圆心的位置矢量为r0，显然|ρ|和|r0|不变(如图5所示)，且r=r0+ρ.

本论文中理论与实验的结果并不完全一致，主要来自于以下几方面实验误差：一是转盘的水平问题，圆盘很难达到绝对平整，给实验造成一定的影响；二是采用相机拍摄有视差，相机的帧数不够高也带来一定的误差；三是Tracker模拟计算轨迹半径有一定误差.

图5 圆轨迹运动模型

4 结 论

本文从实验和理论两方面研究了轻质小球在水平旋转圆盘上的运动轨迹. 影响小球运动轨迹的因素有初始时刻小球释放的位置、速度和圆盘的角速度，其中小球运动轨迹的半径只与小球释放的初速度以及圆盘的角速度有关，圆心坐标与初始时刻小球释放的位置、速度和圆盘的角速度均有关. 特别是小球做圆周运动时，轨迹半径与圆盘转速之间呈反比例关系. 假如圆盘面积足够大，那么小球则可以不离开圆盘做圆周运动，其运动周期是圆盘运动周期的7/2倍(实心球)或5/2倍(空心球).

[1] Gersten J, Soodak H, Tiersten M S. Ball moving on stationary or rotating horizontal surface[J]. Am. J. Phys., 1992,60(1):43-46.

[2] Weltner K. Stable circular orbits of freely moving balls on rotating discs [J]. Am. J. Phys., 1979,47(11):984-985.

[3] http : // www.kit. ilyam. org / Draft_2016_IYPT_Reference_kit.pdf [EB/OL].

[4] 郭玉英. 以研究促改革:美国物理教学的发展变化及启示[J]. 物理教师,2005,26(6):1-2.

[5] Brown D. Sharing video experiments with Tracker digital libraries[R]. AAPT Winter Meeting 2013CE01, 2013.

[6] Brown D.Video modeling: combining dynamic model simulations with traditional video analysis [R]. AAPT 2008 Summer Meeting, Edmonton Poster PST3-15,2008.

[7] 周衍柏. 理论力学[M]． 北京：高等教育出版社，2009：91-92．

[8] 肖士珣. 理论力学[M]. 2版. 长春：东北师范大学出版社，1983:120-121.

[责任编辑：任德香]

Analyzing the movement of a ball on a horizontal rotating plate

DOU Bao-yinga, LU Chena, HUANG Zhi-haoa,LI Lina, NI Bing-qinga, WANG Chun-lianga,b

(a.School of Physics； b.National Demonstration Center for Experimental Physics Education(Northeast Normal University), Northeast Normal University, Changchun 130024, China)

The movement of a light ball rolled without sliding on a horizontal rotating plate was studied experimentally. The influences of the rotating speed of the plate and the initial position and velocity of the ball were explored. The experimental results showed that the ball on the plate did a circular motion. The period was 7/2 (solid ball) or 5/2 times (hollow ball) that of the plate, and the trajectory was affected by the rotating speed of the plate and the initial position and velocity of the ball.

vector analysis; rolling without sliding; trajectory

2017-03-08

窦保英(1996-)，女，河南新乡人，东北师范大学物理学院2014级本科生.

指导教师：王春亮(1980-)，男，吉林长春人，东北师范大学物理学院副教授，博士，从事光电材料研究.

O313.3

A

1005-4642(2017)08-0033-03