一道三角形最值问题的解法赏析和思考

河北昌黎第一中学 田卫东 (邮编:066600)

一道三角形最值问题的解法赏析和思考

河北昌黎第一中学 田卫东 (邮编:066600)

《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》(人教社A版)第一章中明确指出:一般地,把三角形的三个内角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.解三角形问题一般分为两类.第一类,求三角形的边长或内角的大小;第二类,求三角形的边长或内角的取值范围(包括最值),一般第二类问题难度往往更大些.2017年第二次模拟考试中就出现了这样一道题,下面将此题及其解答过程与各位读者分享一下,希望在学习和复习过程中对大家有所启示.

1 试题呈现与简要分析

图1

这是2017年河北省唐山市第二次模拟考试第16题,也是填空题的压轴题,本题主要考查在三角形中运用正、余弦定理进行边角转化及三角函数的有关公式的运用,利用求函数最值的各种方法求解三角形边长的最大值,同时考查学生的运算求解、逻辑推理能力,数形结合、转化与化归的数学思想.试题言简意赅,内涵丰富,对学生能力要求较高,有较大的难度,是一道值得研究的优秀模拟试题.从学生答题结果看,正确率仅为2%左右,根据学生考后反馈情况,一部分同学没有思路,放弃作答,大部分学生运用正、余弦定理做到一半时,无法继续求解,然后考虑特殊三角形,即△ABC为正三角形时,得到的错误结果.另有极少数学生考虑到借助三角形的外接圆,运用圆的参数方程转化为三角函数最值问题,只可惜计算有误,着实令人可惜.下面,我们从不同的角度对此题进行分析和求解.

2 思路分析及解法点评

2.1 “两个定理”相得益彰 “三角函数”水到渠成

思路1 欲求三角形边长的最值,可以考虑用正、余弦定理将边长用某个内角的正弦或余弦值表示,进而转化为三角函数的最值问题.为此,要选择一个角作为变量.

为说明问题方便,令AD＝t,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.

解 如图1,在△ACD中,由余弦定理得

将②代入①得

整理得t2＝4＋23sin2C,显然当sin2C＝1,即时,t2的最大值为,所以AD的最大值是

点评 在三角形中将边长用角的正、余弦表示,应属通性通法,这种方法的特点是将代数运算转化为三角函数的运算,减少了思维量,降低问题的求解难度,是解题者比较喜欢的方式之一.题中所给的,BC＝3为对角和对边的关系,为进行边角的转化提供了有力保障.此方法的难点在于③式的化简需要较强的运算能力,稍有不慎,便会前功尽弃,所以此解法对学生的三角函数运算能力往往有比较高的要求.

2.2 “余弦定理”一枝独秀 “三角换元”助力求解

思路2 可借助∠ADB与∠ADC互补,在△ABD和△ACD中分别运用余弦定理建立边长之间的关系,将b2－bc＋c2＝9进行配方处理,借助圆的参数方程进行三角换元,从而转化为三角函数最值问题.

解 如图1,在△ABC中,由余弦定理得

同理,在△ABD中,得c2＝t2＋4－4tcos∠ADB②

在△ACD中,得

由②③得3t2＝2b2＋c2－6④

由b2－bc＋c2＝9可得

则3t2＝2b2＋c2－6＝212sin2θ－612,当sin2θ＝1时,等号成立,所以即AD的最大值是3＋1.

点评 虽然此解法最终也是转化为三角函数求解,但它与思路1相比,存在明显不同.首先,本解法在三个三角形中分别利用余弦定理得到边长之间的关系,而思路1则是通过正弦定理和余弦定理直接得到了三角函数关系式;其次,本解法的难点也是亮点在于对b2－bc＋c2＝9进行配方换元,它不同于普通的三角换元,读者可以仔细加以比较,这种变形技巧在求解二元函数最值问题时比较常见.

2.3 “平面向量”当仁不让“均值定理”彰显威力

在△ABC中,由余弦定理得b2－bc＋c2＝9

点评 向量,是沟通代数与几何的桥梁,其中以数量积公式最为重要,平面向量的数量积公式包含了长度和角度的运算关系,在三角形中,经常会运用数量积公式进行边角之间的相互表示,题中D是BC的一个三等分点是联想到用向量求解的重要条件.本解法的另一个难点在于等式b2－bc＋c2＝9,常规想法是一个变量用另一个变量表示,将t2转化为含有一个变量的函数式,显然运算量较大,考场上不宜实施.将①、②相结合,考虑到“齐二次”的结构,令,使得t2成为u的函数值,是本解法最大的亮点,这种替换在求解二元函数最值时经常用到,但需要存在“齐次”结构这样的特殊条件.若令v＝u＋1,运用基本不等式求最值时运算量会更小些.

2.4 “解析几何”锦上添花 “参数方程”化难为易

容易联想到△ABC的外接圆,即BC为圆的一条定弦,点A是该圆一段优弧上的动点.为此,可建立平面直角坐标系,求得外接圆方程后,再利用它的参数方程可建立t2的三角函数关系式,从而问题可解.

图2

如图建立平面直角坐标系,则☉O的方程为x2＋y2＝3,点C的坐标为,D是BC的一个三等分点,且BC3,所以＝

点评 解三角形问题中经常会将已知一边的长度及其对角大小作为条件,若与正弦定理结合,很容易知道该三角形与其外接圆之间的关系,并可求得外接圆半径,点A在圆弧上运动为圆的参数方程的使用创造了条件.经了解,在本次考试中有几个同学正是利用了这种办法成功地破解此题,展示了较高的思维水平和解题能力.毋庸置疑,解析法在求解三角形问题中应该占有一席之地,在平时的训练考试中,应该有意识地培养学生这方面的能力.

2.5 “平面几何”揭示本质 “三点共线”方得始终

图3

思路5 见图3,由于点D是定点,而点A在圆周上运动,可以多画几条线段,得到不同长度的“AD”,直觉告诉我们,当AD经过圆心时,AD或许最长,于是“两边之和大于第三边”便成为此猜想正确的坚实后盾.

解 如图3,由思路4可知,点A在☉O的优弧上运动,由正弦定理计算出AO＝R＝3,由勾股定理可得＝1,显然＋1,所以当A、O、D三点共线,即图中A与A′重合时,AD取得最大值

点评 这“神来之笔”的解法令人叹为观止,可谓巧妙至极.原来,这题的“老巢”在这里,既然如此,D点可以为四等分点、五等分点……所以,若将条件改为依思路5,问题照样轻松求解,所以点D的位置并不是最重要的,关键在于A、O、D共线会使得AD取得最大值.由此,只从单纯的解题角度来说,学生掌握一定的平面几何技能是非常有必要的,若从培养人的角度来说,向量的引入,本来就已经淡化了学生逻辑推理和空间想象能力的培养,而2017年考纲又删掉了选修4－1平面几何选讲的内容,这对于学生上述能力的培养来讲是否也算得上一个小小的损失呢?

图4

3 一点思考和感悟

从整个分析及求解过程看,涉及到了解三角形的有关定理、三角函数公式、均值不等式、圆的方程及其参数方程、平面几何知识等知识运用,不仅体现了各种数学知识之间的内在联系,也体现了配方法、换元法、构造法、解析法及数形结合、转化与化归等数学方法、思想的运用和渗透,虽然是一道模拟试题,但如果在试卷讲评时处理得当,它的作用和价值会体现得更有意义,对于学生发散思维的培养、灵活解题能力的加强、数学素养的提高会起到非常大的作用.当下,各种教辅资料铺天盖地,数学题目五花八门,多做题、多刷题依旧充斥着整个数学学习的过程,学生和老师往往会陷入题目的泥塘之中不能自拔.因此,怎样解题,解什么样的题,其实应该成为教师认真思考的主要问题.众所周知,在高中数学学习过程中,知识是基础,方法是关键,能力是核心.高三的复习就必须在课堂教学中以培养学生的数学能力,提升学生的数学素养为主阵地,应该让每一个优秀的数学试题发挥其最大的价值,让每一个数学问题的解决都渗透着重要的数学思想方法,只有对典型问题多分析、多总结解题规律,做到一题多解、多题一解、一题多变,甚至要做到自己动手编题,才能体现出高效的学习效率和生活的意义.

在此并不否认做题的重要性,但坚决反对通过大量做题作为学习数学的唯一方法,多年的教学经验告诉我们,作为学生,当他们考入了大学,乃至参加工作后,回忆起高中最难忘的事情时,没有任何一位同学会想起有哪些数学题目让他记忆犹新,但是他们往往会记得老师教给他们为人的道理,做事的方法.爱因斯坦曾经说过:“所谓的教育,就是把在学校学到的知识忘掉,剩下的那部分才是教育”.数学教育作为教育的组成部分,在发展和完善人类的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用.而数学学科在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用.它是让学生学会终身发展、终身学习的重要学科,它的抽象,会让我们提高理解能力,它的严谨,会让我们做事情滴水不漏,细致入微,它的解法多样,会让我们从多个角度审视问题,理解人生和社会,数学的魅力,大概就在于此.

2017-06-08)