定积分在几何计算中的应用研究

丁军猛

摘要：定积分是高等数学的基础，它的应用非常广泛，在物理学、经济学、几何学中都有应用，本文重点研究了定积分在几何计算中的应用，通过利用定积分在解决一些利用初等几何知识无法解决的几何问题，为我们解决一些初等数学问题提供了一些新的思想，新观点。

关键词：定积分；几何；计算

在数学中，应用可以分为不同的层次：一是数学知识的直接应用，如由基本积分公式，利用直接积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；二是运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决平面图形的面积和旋转体的体积问题，这是高一级层次的应用；三是运用數学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，而后进行解决，这是最高层次的一种应用。本文涉及的应用问题主要是二种应用，即运用数学知识解决数学模型。

一、定积分的概念和性质

（一）定义

设 为定义在区间 上的有界函数，在 中任意插入 个分点：将区间 分割成 个小区间 ，小区间的长度分别记为 ，在小区间 上任取一点 ，作和式： ，

若当 时，上述和式极限存在，且与区间 的分法无关，与 的取法无关，则称此极限为函数 在区间 上的定积分，记为 ，即 .

其中， 称为积分变量， 称为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分区间， 为积分下限， 为积分上限.

（二）定积分的几何意义

若在 上 ，则 的值表示由曲线 ，直线 ， ， 所围成曲边梯形的面积若在 上 ，则 为负值，绝对值是以 为曲边，与直线 ， ， 所围曲边梯形的面积（图）.

若在 上 有正有负，则 的值表示由 ， ， 和 所围图形在 轴上方的面积减去在 轴下方的面积所得之差（图1、2）.

定积分的应用很广，仅介绍它在几何方面和物理方面的一些应用.首先说明一种运用定积分解决实际问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分析方法——微元法（或元素法）.

由定积分的定义和几何意义可以看出。在将具体问题中所求的量S表达成定积分：

时，总是把所求量S看作是与变量 的变化区间[a，b]相联系的整体量.当把区间[a，b]划分为若干小区间时，整体量S就相应地分为若干部分量 ，而整体量等于各部分量之和，这一性质称为所求量对于区间[a，b]具有可加性.

划分区间后，在各部分区间上，求出部分量的近似表达式 ，由可加性，总量的近似值可以表达成和式 （由于点 任意选取时，和式极限有确定的值，常取 为区间的左端点 ），从而这个和式的极限就是所求量的精确值，于是由定积分的定义，总量S可用定积分来表达

一般地，如果某一实际问题中所求量S满足以下条件：

S是与变量 的变化区间[a，b]有关的量，且S对于该区间具有可加性，所求量S就可用定积分来计算.具体步骤如下：

（1）确定积分变量，并求出相应的积分区间[a，b]

（2）在区间[a，b]上任取一小区间 ，并在该小区间上找出所求量s的微元

（3）写出所求量 的积分表达式 ，然后计算它的值.

这里 通常称为所求量S的微分（或元素），这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定积分表达式的方法，通常称为微元法（或元素法）.

二、根据定积分的定义，定积分与几何图形的面积有直接联系，由其定义推导过程，我们总结出以下两种情况

（一）在直角坐标系下计算平面图形的面积

方法一：

面积元素 = ，面积 =

第一步：在 边界方程中解出 的两个表达式 ， .

第二步：在剩下的边界方程中找出 的两个常数值 ， ；不够时由 解出，

， ，面积 =

方法二：

面积元素 = ，面积 =

第一步：在 边界方程中解出 的两个表达式 ， .

第二步：在剩下的边界方程中找出 的两个常数值 ， ；不够时由 解出，

， ，面积 =

例1 求 ， 围成的面积

解 ， ， ， 。当 时 ，于是

面积

例2 计算 围成的面积

解 由 ， 得， ，当 时

面积= =18。

三、曲边图形的函数表达式是其他形式的情况

（一）在曲边梯形 、 、 、 （ ）中，如果曲边 的方程为参数方程为 ，

则其面积 = ，其中

例3 求 轴与摆线 ， 围成的面积

解 面积

例4 星形线 （ ）围成的面积.

解 面积

=

（二）极坐标系下计算平面图形的面积

某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便.用微元法计算：由极坐标方程 所表示的曲线与射线 所围成的曲边扇形面积.

以极角 为积分变量，积分区间为 ，在 上任取一小区间 ，与它相应的小曲边扇形面积近似于以 为圆心角. 为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素

四、定积分在计算体积中的应用

（一）平行截面面积为已知的空间物体的体积

过 轴一点 作垂直于 轴的平面，该平面截空间物体的

截面面积为 ， ，则该物体的体积

例1 一空间物体的底面是长半轴 ，短半轴 的椭

圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。

解 截面面积

（二）旋转体体积

设一旋转体是由曲线 与直线 、及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成（右图）.现用微元法求它的体积.

在区间 上任取 ，对应于该小区间的小薄片体积近似于以 为半径，以 为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为

从a到b积分，得旋转体体积为 。

类似地，若旋转体是由连续曲线 与直线 及y轴所围成的图形绕y轴旋转而成，则其体积为

例2摆线 与x轴围成的图形

1）绕 轴旋转形成的旋转体体积

=

2）绕 轴旋转形成的旋转体体积

=

3）绕 旋转形成的旋转体的截面面积 。

绕 旋转形成的旋转体体积

例3 求心形线 与射线 、 围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积

解 心形线的参数方程为 ， ，旋转体体积

= =

注：从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分计。

如右图所示，取上述定轴为x轴，并设该立体在过点x=a、x=b且垂直于x轴的两个平面之间，以A（x）表示过点x且垂直于x轴的截面面积.A（x）为x的已知的连续函数.取x为积分变量，它的变化区间为 .立体中相应于 上任一小区间 的薄片的体积，近似于底面积为A（x）、高为dx的扁柱体的体积，即体积元素

于是所求立体的体积为 。

五、定积分在计算平面弧长中的应用长

设 为 面内的一条光滑曲线弧，函数 在 上有界，在 内任意地插入 点，

它把L分成n个小弧段，设第i个小段 的长度为 ， 为 上任取的一点，记 作和式

如果極限 存在，

这个极限值就叫做函数 在曲线弧 上对弧长的曲线积分，记作 。

亦即

其中： 叫做被积函数， 叫做积分弧段。

参数方程

极坐标

表中当 时， ， ， ， ，

弧微分 。

例1求摆线 的长

解 ， ， 。

弧长

例2摆线 上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标

解 设A点满足要求，此时 。根据例2摆线第一拱成弧长 ， 。由条件弧OA的长为 ，即 ， ，点A的坐标为

例3 求星形线 的全长

解 星形线的参数方程为 ， ，

， ，

.

弧长 。

例4 求对数螺线 上 到 的一段弧长

解 ，弧长 = =

结论：利用高等数学的一些思想、观点、原理和方法，可以改变我们对一些问题的思维方式，拓展我们的解题思路，从本文可以看出，以前比较难解决的曲边图形的面积、不规则弧长，物体的体积等问题结合定积分的思想去解决时，常常能达到事半功倍的效果。

参考文献：

[1]浅析积分在实际问题中的应用[J]. 王岩岩，刘伟. 大学教育. 2016（06）

[2]定积分的应用研究[J]. 辛春元. 佳木斯教育学院学报. 2010（05）

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