高中新生函数变量意识培养初探

2017-08-09段录平

数学学习与研究 2017年15期

关键词：值域定义域题意

段录平

函数是高中数学学科体系中最基本、最重要的概念之一，函数是中学数学的重点知识，包含的内容非常广泛，它的概念和思想渗透高中数学教学的各个方面.学生学习函数知识最主要的是树立函数观点，并自觉养成用函数的观点和方法解决各类相关的复杂问题的习惯.

高中数学注重数学思维品质的培养，注重数学思维逻辑的建立，强调学生要善于从具体到抽象的概括归纳与总结，注重培养学生学习数学中的“变式思想”“数形结合思想”“形变等价思想”“化归趋同思想”等数学思想与方法.

函数观点下的变量意识形成不易

在初中函数是这样定义的：如果在某变化过程中有两个变量x与y，并且对变量x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，变量x叫自变量，y叫因变量.

高中在学习了映射以后，用映射对函数进行了新定义：设A、B是两个非空数集，在对应法则f下，对于自变量x在集合A内的任意一个值，在集合B中都有唯一元素y与之对应，且集合B中任意一个元素在集合A中都有原象与之对应，那么在这条件下的映射称之为函数.并且，如果y是x的函数，特记为y=f（x），f是对应法则，x是自变量.并且集合A称作函数的定义域，设值域为M，则MB.

（1）

（2）

（3）

（1）是映射不是函数，（2）（3）既是映射又是函数.

从函数的两种定义知道，构成一个函数必有三要素：定义域、对应法则和值域.通过函数概念在不同历史时期的演变及发展史不难发现：

一、函数自变量的相对独立性

例1函数f（2x）的定义域是[-1，1]，求函数f（log2x）的定义域.

分析在这里，函数定义域是指独立自变量x的范围是-1≤x≤1，故12≤2x≤2，从而f（x）的定义域是12，2，而我们所要求的函数f（log2x）的定义域显然既不是[-1，1]，也不是12，2，而应根据f（x）中x∈12，2得x∈[2，4].从而求解得x∈12，2.

在这里2x与log2x中的变量x其意义是不一样；二是2x与log2x在f作用下的取值范围是相同的.又如，

例2已知函数f（x-2）=x2-3x+5，求f（2）的值.

分析这里f（2）=f（4-2），即x=4.从而f（2）=f（4-2）=42-3×4+5=9.在这里充分注意到自变量的独立性，从而避免了通过想办法求解f（x）的解析式这一繁杂的过程.用同样方法不难求解下面的题目.

二、函数自变量的整体性

函数自变量在具有独立性的同时，有时往往又具有待定的整体性.

例3已知f（x2-4）=lgx2x2-8，求函数的定义域.

分析f（x2-4）与f（x）是两个不同的函数，如果通过求解x2x2-8>0，得x>22或x<-22，所得范围是f（x2-4）的定义域而非f（x）的定义域，但是x2-4与x在f作用下的地位是相同的，本质属性是一样的，我们将x2-4视作一个整体，不难得到f（x2-4）=lg（x2-4）+4（x2-4）-4，故f（x）=lgx+4x-4.从此也就不难求得f（x）的定义域是（-∞，-4）∪（4，+∞）.

例4已知f（x）=2x+1-2x，求f（x）的值域.

分析解本题关键在于找到函数解析式的内在联系，不难发现f（x）=-（1-2x）+1+2x+1，不妨将1-2x视为一个整体，如，设

t=1-2x≥0，则原函数变为y=-t2+t+1（t≥0），问题也就迎刃而解了.这里x为变量，从而1-2x也为变量，1-2x也为变量，将1-2x视作一个新的变量t=1-2x≥0.由此可见，变量的整体性认识与处理，有时往往可事半功倍.

三、函数自变量的制约性

函数值是受自变量与对应法则制约的.定义域是函数值存在的首要条件，在构建函数模型、研究函数性质、求解函数值域时，需时时注意函数的定义域，这一点中学生容易忽略.如，函数f（x）=2x，x∈R与函数f（x）=2x，x∈Z，由于其定义域不同，它们的值域也不同，第一个函数的值域是实数集，而第二个函数的值域是偶数集.又如，函数g（x）=x2，x∈R与函数g（x）=x2，x∈（-∞，0），这里第一个函数不具有反函数，而第二个函数有反函数；再如，求函数f（x）=sin2x+sinx+cosx的值域时，有学生按下面方求解：

解|sin2x|≤1，|sinx|≤1，|cosx|≤1，

∴-3≤sin2x+sinx+cosx≤3，

∴原函数的值域是y∈[-3，3].

这显然是一个错误的求解过程，错误的原因在于学生在思考问题的时候忽视了变量的制约性.其实在本题中，不难发现sin2x与sinx+cosx之间的紧密联系：（sinx+cosx）2=1+sin2x.正確解法如下：

解设t=sinx+cosx，则|t|≤2，

∴y=t2+t-1=t+122-54，

∴y∈-54，1+2.

变量意识下的函数观点，是通过函数的形式、方法对问题加以研究，充分利用函数的性质，如，函数的图像与单调性、奇偶性等性质，从而使问题获得突破与解决，达到解题目的.

一、函数变量的转换

例5a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值总大于零，求x的取值范围.

分析对函数f（x），这里“a”是参变量，“x”是自变量.直接对二次函数f（x）进行处理，困难不小，也找不到解决问题的办法，无从下手.不妨进行自变量转换，将“a”转化为自变量，“x”为常量，令g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），a∈[-1，1]，这样就得到一个以“x”为参变量，“a”为自变量的一次型函数，要符合题意条件，则可利用一次函数的单调性，只需g（-1）>0，且g（1）>0，这样就可不难求得x的正确取值范围是x<1或x>3.

二、建构函数的思想

例6已知a，b，c∈R且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：ab+bc+ca>-1.

分析原不等式等价于ab+bc+ca+1>0，也即（b+c）a+（bc+1）>0，因为这里a∈（-1，1），这是一个很重要的信息条件，利用好这个信息条件是解决本问题的关键.如果有变量意识，构建一个以“a”为自变量的函数，令这个函数f（a）=（b+c）a+（bc+1），符合题意条件不外乎下面两种情形：

（1）若b+c=0，則f（a）=bc+1，由|bc|<100；

（2）若b+c≠0，由于一次函数的单调性，只需满足f（-1）>0且f（1）>0即可，

因f（-1）=（-b-c）+1+bc=（b-1）（c-1）>0，同理f（1）>0.

∴f（a）在|a|<1时，必有f（a）>0.从而问题得证.

三、变量自身的函数特征

分析变量自身函数特征，能够抓住问题的主要方面，防止在认知上出现偏差.

例7已知函数y=lg（mx2-4x+m-3）的值域是全体实数，求实数m的取值范围.

分析对函数y=lgax的值域是R，其定义域为（0，+∞），这一点学生深信不疑，但在其具体的解题过程中，普遍学生是这样做的：

解设t=mx2-4x+m-3>0……①，要使原函数的值域为R，须不等式①满足m>0且Δ<0，从而得解为m>4.引导学生把函数t=mx2-4x+m-3（m>0），且Δ<0的图形画出来