设而不求

陈习俭

【摘要】解析几何高考的七大主干知识，在各个省市的高考中都占有很重要的地位，它是用代数的方法去研究几何问题，不可避免地会涉及联立方程并且求解方程，如何简化运算快速求解就显得极为关键，而“设而不求”，就是根据提议巧妙设立未知数，来沟通“未知”和“已知”之间的关系，从而帮助我们解题，而未知数本身并不需要求出它的值.“设而不求”的方法把关注点通过运算求解上升为分析求解，即通过少量的计算大量的分析实现解题.

【关键词】解析几何；设而不求；高考

一、案例分析

（一）中点和斜率的问题

例1（2013年全国大纲理11）已知抛物线C：y2=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA·MB=0，则k=.

解法一常规方法计算（略）.

解法二易知点M在准线上，由MA·MB=0，知MA⊥MB，设AB中点N（x0，y0），则MN=12AB，由抛物线定义知N到准线的距离也等于12AB，于是y0=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y21=8x1，y22=8x2.

两式相减得（y1-y2）（y1+y2）=8（x1-x2），

故kAB=y2-y1x2-x1=8y1+y2=2.

点评：设出两个交点的坐标，通过两方程作差快速求出斜率，大大简化了运算，提高了解题的速度，这种方法叫点差法，它的特点是设出关键点坐标，然后代入曲线方程，再作差，最后将表达式化成含有斜率与中点的式子.

（二）求直线方程

例2（2013广东理20）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c>0）到直线l：x-y-2=0的距离为322.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程.

解（Ⅰ）抛物线C的方程为x2=4y.过程略.

（Ⅱ）抛物线C的方程为x2=4y，即y=14x2，求导得y′=12x.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA，PB的斜率分别为12x1，12x2，

所以切线PA的方程为y-y1=x12（x-x1），

即y=x12x-x212+y1，即x1x-2y-2y1=0.

同理可得切線PB的方程为x2x-2y-2y2=0.

因为切线PA，PB均过点P（x0，y0），

所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

所以（x1，y1），（x2，y2）为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.

所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.

（三）直线与圆锥曲线关系

例3（2013年陕西理20）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ）已知点B（-1，0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点.

解（Ⅰ）由已知条件很容易求解出轨迹C的方程为y2=8x，过程略.

（Ⅱ）点B（-1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），

由题知y1+y2≠0，y1y2<0，y21=8x1，y22=8x2.

y1x1+1=-y2x2+1y1y21+8=-y2y22+8

8（y1+y2）+y1y2（y2+y1）=08+y1y2=0，

直线PQ方程为：y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1）

y-y1=1y2+y1（8x-y21）

y（y2+y1）-y1（y2+y1）=8x-y21

y（y2+y1）+8=8xy=0，x=1.

所以，直线PQ过定点（1，0）

（四）对于圆锥曲线中弦长的综合应用

在人教A版高中数学选修2-1的第二章“圆锥曲线与方程”的例6中，对于已知直线与圆锥曲线相交，求弦长的解题方法中，是直接计算出了两交点，用两点间的距离公式计算出了弦长，这种方法对于已知直线和已知曲线是可行的，但在我们的高考题中，经常会用到未知直线与已知曲线相交的弦长，如果我们再采用教材中的方法，会使计算变得特别复杂，而如果我们采用“设而不求”就能让问题简单化.

二、小结

设而不求，合理的“设”是桥梁和纽带，“不求”，使解题变得更加简洁，而要达到设而不求的境界，就需要对问题更深入地分析和思考，这正好符合高考“多思少算”的命题要求，它优化了学生的解题思路，让其对解析难题的解决更有信心.