关于全期望公式的几点思考

刘小艳　严钧

【摘要】本文考虑全期望公式与全概率公式、事件差的概率以及定积分的可加性之间的联系，我们得到全概率公式、事件差的概率以及定积分的可加性本质上都是全期望公式.

【关键词】全期望公式；全概率公式；定积分

全期望公式是概率论与数理统计中的一个重要的公式，它是运用条件期望的技巧来求解随机变量的数学期望.对于任意的随机变量X和可测函数g（x），事件A1，A2，…，An，…是完备事件组，我们有如下的离散情形的全期望公式：

E（g（X））=∑∞k=1E（g（X）·I{Ak}）=∑∞k=1E（g（X）|Ak）P（Ak），

其中，对于任意事件A，I{A}称为事件A的示性函数，其定义为如果事件A发生，则I{A}=1，如果事件A不发生，则I{A}=0；E（g（X）|Ak）表示g（X）关于事件Ak的条件数学期望.特别地，如果（X，Y）是二维离散型随机变量，它们的联合分布律为{pij=P（X=xi，Y=yj），i，j=1，2，…}，设Ak={Y=yk}，k≥1，则离散情形的全期望公式变为

E（g（X））=∑∞i=1∑∞j=1g（xi）P（X=xi|Y=yj）P（Y=yj）.

设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），X，Y的边际密度函数分别为fX（x），fY（y），f（x|y）表示X关于Y的条件概率，f（y|x）表示Y关于X的条件概率，由重期望公式，我们可以得到如下的连续情形的全期望公式：

E（g（X））=E（E（g（X）|Y））=∫∞-∞∫∞-∞g（x）f（x|y）fY（y）dxdy.

全期望公式与全概率公式的关系：

全概率公式是概率统计中的一个重要的公式，离散形式的全概率公式的叙述如下：设B是一个事件，A1，A2，…，An，…是完备事件组，则有

P（B）=∑∞k=1P（BAk）=∑∞k=1P（B|Ak）P（Ak）.

我们知道概率可以写成数学期望的形式，具体地，对于任意一个事件A，P（A）=E（I{A}），由此，离散形式的全概率公式可以写成如下的形式：

E（I{B}）=∑∞k=1E（I{B}·I{Ak}）=∑∞k=1E（I{B}|Ak）P（Ak）.

也就是说，离散情形的全概率公式即为离散情形的全期望公式.对于连续情形的全概率公式我们有类似的结果.设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），X，Y的边际密度函数分别为fX（x），fY（y），f（x|y）表示X关于Y的条件概率，f（y|x）表示Y关于X的条件概率，则连续形式的全概率公式为

fX（x）=∫∞-∞f（x，y）dy=∫∞-∞f（x|y）fY（y）dy，

这样，我们有

E（g（X））=∫∞-∞g（x）fX（x）dx=∫∞-∞g（x）f（x|y）fY（y）dy.

这就是连续情形的全期望公式.

全概率公式与事件差的公式的关系：

事件B和A的差B-A定义为B发生而A不发生这一事件.我们知道对于任意两个事件A和B，有P（B-A）=P（B）-P（AB），特别地，如果BA，则公式简化为P（B-A）=P（B）-P（A），因为此时我们有AB=A.我们可以证明P（B-A）=P（BA），其中A表示A的对立事件，即它们满足AA=，A∪A=Ω，所以由P（B-A）=P（B）-P（AB）可以得到P（BA）=P（B）-P（AB），即P（B）=P（BA）+P（BA），这就是全概率公式，因为A和A为对立事件.

全概率公式与定积分的联系：

设g（x）为区间[a，b]上的可积函数，c为任意常数，则

∫bag（x）dx=∫cag（x）dx+∫bcg（x）dx=∫bag（x）I{a≤x

設X～U（a，b），则上式可以写成数学期望的形式：

E（g（X））=E（g（X）I{B}）+E（g（X）I{B}），

其中，事件B={a≤X

同理，我们可以证明E（g（X））=∑∞k=1E（g（X）I{X∈Bk}），这就是全期望公式.

【参考文献】

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]李贤平.概率论基础[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]曹宇菁.全概率公式的推广及其应用[J].数学的实践与认识，2014，44（22）：305-308.

[4]吴黎军.全概率公式注记[J].高等数学研究，2013，16（2）：55-57.