浅析求解向量题目常用的妙招

江苏省昆山市费俊龙中学 陈 英

浅析求解向量题目常用的妙招

江苏省昆山市费俊龙中学 陈 英

向量题目是试卷中必定出现的题目，直接解答向量题目，往往找不到入手点，可以从几何与代数两个角度将其进行转化，就可以轻松解答。从代数角度来讲，可以将向量问题实数化，从而运用数的性质加以处理；从几何角度来讲，向量问题可以运用数形结合思想加以处理。文中介绍了求解向量题目常用的妙招，以求能够更好地解决向量问题。

向量题目；高中数学；妙招

向量，是指既有大小又有方向的量，它的本质解释了向量具有“数”和“形”的双重身份。向量题目的难度并不是很大，而是转化起来存在困难，导致容易出现问题。在解决向量题目时，可以根据具体问题，从代数与几何两个角度着手转化，在实践中反思，形成解决向量题目的妙招。

一、灵活“建系”，巧妙解答向量题目

遇到平面图形的向量问题时，可以根据需求灵活建立平面直角坐标系，然后再通过向量坐标运算巧妙地解决问题，这正是体现向量“代数化”手段的重要性，更是解决向量问题的妙招。

例1 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC的中点。若点P是△ABC内部任意一点，那么的取值范围是 。

图 1

【分析】 该题目解决之前，首先要根据题意构建一个平面坐标系xcy，且将等腰直角三角形ABC置放于平面坐标系xcy中（如 图1）。根据图1可以发现，点A（1,0），N（0,1/2），M（1/2,1/2）。设点P的坐标为（x，y），则可以得出y-1/2）。由此可解出答案。

【评注】 该题目是一道综合性的题目，通过抽象思维很难找到出路，而通过建立一个平面直角坐标系，就能够找到解题思路，同时还能够找到切入点。“平移”是运用线性规划解题过程中常常用到的技巧，在此题目中，就是运用“平移”技巧建立不等式，最终解决问题。

二、构造“基底”，巧妙解答向量题目

平面向量问题往往较为抽象，看到题目只觉得眼花缭乱，根本不能够抓住题目的切入点，更不能正确、省时地解决问题。如若遇到平面向量的相关问题，能够根据具体情况，选择一组恰当基底，就能够将烦琐的问题化为简单的问题。选择基底不能够随便选择，而是要依据平面向量的基本定理和向量相关的知识点。选择恰当基底e1、e2，就可以将原来的向量问题转化成为e1、e2的代数运算的问题。

图2

三、借助“图形”，巧妙解答向量题目

向量具有“数”和“形”的双重身份，因此在遇到向量问题时，不仅要能够灵活地运用平面向量的加法法则和减法法则，还要能够明确其几何意义，且能够结合题意恰当运用。因为对于抽象的问题，往往可以通过图形进行简化，且有助于找到正确的解题思路，从而顺利地完成题目。

例3 在平面直角坐标系xoy中，O为原点，A（-1,0）,B（0，的最大值是 。

【分析】 该题目单纯依据思维，根本不能够找到一个明确的解题思路。本题目可以根据题意将图形画在一个平面直角坐标系中（如图3），将其抽象为一个以点O和点C为圆心的两个圆。

图 3

【评注】 将题意形成具体的某个图形并不是解题的关键，该题目根据题意绘制图形，处理的关键在于：将分别转化成为与两个向量；二，做，且使三，灵活运用向量不等式：取等号的充分必要条件。

向量题目可以通过转化的方式，化难为易，化繁为简，概括来讲，就是从代数和几何两个角度进行解答。从代数角度来讲，可以将向量问题实数化，从而运用数的性质加以处理；从几何角度来讲，向量问题可以运用数形结合思想加以处理。

[1]滕传民.平面向量题目的求解策略[J].中学数学，2012（09）.

[2]蒋明建.破解向量难题…挖掘潜在信息[J].中学数学，2013（09）.