二面角的向量求法初探

在用传统的几何方法计算二面角的大小时，有时不容易确定二面角的平面角，而利用向量来求解二面角问题却比较简便。向量方法求的二面角平面角的大小通常有两种方法。

一、是根据二面角的平面角的定义

首先我们一起回顾一下二面角的平面角的定义：在棱上找一点O，在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线AO，BO，则∠AOB为二面角的平面角。而根据二面角的平面角的定义利用向量求解二面角的方法原理是：如图1，若AB、CD分别是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就等于向量[AB]与[CD]的夹角的大小。

例1 如图2，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好在AB上，求这时二面角B-AC-D的余弦值。

解：如图2，作DG⊥AC于G，BH⊥AC于H，

在Rt△ADC中，

[AC=AD2+CD2]，[cos∠DAC=ADAC=35]

在Rt△ADG中，

[AG=ADcos∠DAG=3×35=95]，

[DG=AD2-AG2=125]

同理[cos∠BCA=35]，

[CH=95]，[ BH=1235]，

[∵AD·BC=AE+ED·BC=AE·BC+ED·BC=0]，

[∴GD·HB=GA+AD·（HC+CB）]，

[=GA·HC+GA·CB+AD·HC+AD·CB]，

[=95×95+95×3×35+3×95×395+0=8125]。

又[GDHB=14425]，

[∴cosGD，HB=916]，

即所求余弦值为[916]。

在本例中，作出垂直于棱的两个向量，将求二面角的大小转化为求这两个向量的夹角，这里两向量的起点应在棱上（或方向沿各自的半平面由棱指向外）。与传统的几何方法相比，采用向量方法时作辅助线有更大的自由度，即无须从棱上的同一点作棱的垂线。

二、是利用平面的法向量求解

利用平面的法向量求解的方法是：如图3，设[n1]、[n2]是二面角α-l-β的两个半平面α、β的法向量，则向量[n1]与[n2]的夹角（或其补角）的大小就等于二面角的平面角的大小。此法适合图形比较复杂，甚至于棱未画出的情形。这种“傻瓜式”的方法往往无须添加辅助线，其优点显而易见。但该法也有一个弱点，就是求出[n1]与[n2]的夹角后，还要结合图形判断二面角是锐角还是钝角，进而确定二面角的大小。解决这个问题的方法有两种：

1.选取法向量的方向

解铃还须系铃人，产生上述问题的原因在于，利用平面的法向量解题时，选取的法向量是随意的。于是对于一个平面的法向量将可选取两个相反的方向，所以这个随意性将导致在选取两个半平面的法向量时，出现以下四种情形（如图4）。

当选取的法向量的方向如（1）、（2）时，向量[n1]与[n2]的夹角与二面角的平面角互补；当选取的法向量的方向如（3）、（4）时，向量[n1]与[n2]的夹角与二面角的平面角相等。

我们发现（3）、（4）有共同特点就是两个法向量关于棱的环绕方向相同，所以当我们在选取法向量的方向时，可使两个半平面的法向量关于棱有相同的环绕方向，其后求出的[（n1，n2）]就等于二面角的大小。

例2 如图5，已知在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°， SD⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=[12]。求面SCD与面SBA所成二面角的平面角的余弦值。

解：如图5，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），D（[12]，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），A（0，0，0），[AD=（12，0，0）]，[SC=（1，1，-1）]，[SD=（12，0，-1）]。

∵AD⊥AB且SA⊥平面ABCD，

∴AD⊥平面SAB。

∴[AD]是平面SAB的一个法向量。

设[n=（x，y，z）]是平面SCD的一个法向量，

由[n⊥SCn⊥SDn?SC=0n?SD=0]

∴[x+y-z=012x-z=0x=2zy=-z]

令z=1，则[n=（2，-1，1）]，

∴[cos（AD，n）=AD?nAD?n=63]，

∴面SCD與面SBA所成二面角的平面角的余弦值是[63]。

在本例中，[AD]是平面[SAB]的一个法向量，再找出平面[SCD]的一个法向量[n]。这两个半平面的法向量关于棱有相同的环绕方向，所以利用夹角公式求出的[（AD，n）]就等于二面角的大小。

2.利用点的射影的位置判定二面角是锐角还是钝角

在一些具体问题中，由于观察角度的原因，不易判断二面角是锐角还是钝角，法向量关于棱的环绕方向也不易确定时，可利用半平面内的一点（不在棱上）在另一个半平面上的射影的位置来确定。

如图6，P是半平面α内的一点（不在棱上）。

例3 如图7，在四棱锥[S-ABCD]中，底面[ABCD]为正方形，侧棱[SD]⊥底面[ABCD]，[SD=2CD]，[F]是[SC]的中点.求二面角[S-AF-D]的平面角的余弦值.

解：如图7，以D为原点，[DA，DC，DS]的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz.

令CD=1，则SD=2，

∴A（1，0，0），S（0，0，2），B（1，1，0），C（0，1，0），[F（0，12，1）]，[AS=（-1，0，2）]，[AF=（-1，12，1）]，

设[n=（x，y，z）]是平面ASF的一个法向量，

由[n1⊥ASn1⊥AFn1?AS=0n1?AF=0]

∴[x，y，z?-1，0，2=0x，y，z-1，12，1=0-x+2z=0-x+12y+z=0]

取z=1则[n1=（2，2，1）]

同法可求得平面[DAF]的一个法向量[n2=（0，2，-1）]。

∴[cosn1，n2=n1?n2n1?n2=55]。

可证点[D]在另一个半平面[ASF]上的射影[G]落在半平面[ASF]外（如图7），

则二面角S-AF-D的平面角为钝角。

∴二面角S-AF-D的平面角的余弦值为[-55]。

在本例中，二面角S-AF-D的平面角是锐角还是钝角不易判断，法向量关于棱的环绕方向也不易确定，所以利用半平面DAF内的一点D（不在棱上）在另一个半平面ASF上的射影G的位置来确定。

综上，向量是解决立体几何问题的有力工具，利用空间向量计算二面角的大小，方法简便，易于操作。尤其是利用平面法向量解题，可以避开传统几何中作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像力的不足，发挥代数运算的长处，可以有效地提高解题能力。

作者简介：

许武荣（1975—），男，福建省漳州市诏安县，本科，中学一级教师，研究方向：高中数学教学。