借助几何画板培养学生数学素养

赵建宏

[摘要]几何画板能创设数形结合的教学情境，有助于培养学生的几何直观与想象能力、解决问题的能力和逻辑思维能力，有利于学生数学素养的形成.

数学教师应借助几何画板，通过动态作图、由形及数、探究论证等途径，培养学生的数学素养.

[关键词]几何画板；数学素养；培养

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20003402

随着《中国学生发展核心素养》的发布，如何培养学生核心素养成为课程深化改革的热点问题.学生核心素养的培养，最终要落在学科核心素养的培养上.几何画板是高中数学教学中应用较广泛的教学软件，借助几何画板能较好地培养学生的数学素养.具体体现在以下几个方面.

一、动态作图，培养几何直观与想象能力

几何画板可以呈现几何直观和图形变化的过程，帮助学生认识事物的运动规律、形态变化和位置关系，在培养学生的几何直观与想象能力方面有较大的优势.

在高中函数教学中，函数与函数图像总是紧密联系的，利用图像解决问题，是解决函数问题的重要方法.在以往的教学过程中，教师对图像的解读并不是很精确，学生手工作图速度慢，精度不高，且由于对图像性质不熟悉，常常根据主观臆想画图，出现许多错误.通过几何

画板动态作图，能轻松演示图像的变化规律，纠正学生常见的易错点.

例如，在《指数函数及其性质》的教学中，教师运用几何画板，通过变换参数a，

就可以

得到图1，进而引导学生归纳出图像的三个重要特征：定点、单调性和渐近线，其对应的代数特征为：指数为0时幂等于1，底数大小决定单调性，值域大于0.学生对指数函数图像有了直观清晰的认识，今后再绘制形如

y=2x-1

的图像时，就不会出现图像随意向下延伸的错误情况了.

又如，在高一教学中，我们

经常会涉及函数y=x+ax（a>0），传统教学是用代数推证的方法，利用单调性的定义去求其单调区间，过程烦琐且学生难以把握其本质特征.现在教师可先利用几何画板变化参数a，得到图2.通过观察图像，学生能够发现函数单调性与x=a有关.教师再在图像上任取一点A，确定直线x=a与图像的交点B，测量两点的纵坐标，通过拖动点A，学生能直观地看到当x=a时函数取得最小值，然后再进行代数证明.这样教学，学生对此函数的理解会比传统教学更加深刻.

通过几何画板让学生绘制各种函数图像，在一系列的操作、观察与理解的活动过程中，学生增强了对图形的感性和直观认识，逐步积累了数学经验，培养了直观想象能力.

二、由形及数，培养解决问题的能力

几何画板具有两个特色功能：“拖动”和“测量”.“拖动”能让图形“动”起来，“测量”能反映图形变化中的数量特征，它们能帮助学生建立形与数的联系，启迪解决问题的思路.

有這样一道题：过圆C：x2+y2=4外一点P（4，0），作直线l交圆C于A、B两点，求线段AB中点M的轨迹方程.学生根据条件运用几何画板直接绘图，得到轨迹图形（如图3），学生可感知到其是圆的一部分，但对于如何求轨迹方程，学生感觉无从下手.解析几何题目有一个非常重要的特点，就是不断变化的几何图形中存在不变的几何规律.因此，教师需引导学生思考：图形中可能会存在哪些不变的几何关系？如何验证呢？为什么会有这种关系成立？其中“如何验证”这个环节非常关键，通过“以数助形”能将学生观察猜测的结论确定下来.

学生通过操作探究，发现直线l与CM垂直（发现一，如图4），验证的方法为它们斜率的乘积始终为-1；还有学生发现PC中点D到点M的距离始终不变（发现二，如图5）.在此基础上，学生进一步思考，得出发现一的理论依据是垂径定理，得出发现二的理论依据是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.

这个探究过程体现了求轨迹方程的两个重要方法：直接法和定义法，其关键都是从图形中找到不变的几何关系，再将其代数化.几何画板的作用在于，将烦琐的计

算放在一边，从“解题思路”这个大方向上来考虑问题，直接探究问题的实质.对传统教学而言，是很难达到这种效果的.学生通过这样的活动经验积累，能逐步形成有效的解题策略，提升解决问题的能力.

三、探究论证，培养逻辑思维能力

几何画板具有“可视化数学思维”的特点，学生通过拖动和测量，猜想问题中存在的规律，寻找规律成立的条件，在问题解决与问题再探究中，发展了逻辑推理的能力，形成了重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质.

[例题]（2014年高考全国Ⅱ理16）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是.

本题的难点在于点M和点N都是动点，因而用传统静态图形的方法，对于思维还处在发展阶段的高中生来说，是比较困难的.在实际教学中，教师利用几何画板引导学生进行了如下探究：如图6，拖动点N，观察∠OMN角度的变化，学生会发现当直线MN与圆相切时，角度最大，教师作出切线MN1和MN2，验证猜想，发现结论正确.再进一步改变点M的位置，观察最大角的变化情况，如图7，通过列表数据，学生可以发现，当xM=∈[-1，1]时，最大角≥45°，此时存在点N，使得∠OMN=45°.问题得以解决，学生刚松了一口气，教师接着又提问：“怎么证明？”此时学生的求知欲完全被激发起来，都积极地进行思考、讨论，最终得出了代数论证的方法.

这样的学习方式，让学生经历了“探究—猜想—论证”的活动，参与并体验了数学知识的获得过程，建构起对数学的新认识.相比传统的教学方式，其体现了更高层次的数学思维活动，有利于学生形成严谨的逻辑思维能力.

以数学核心素养为导向的教学是今后高中数学课程改革研究的重要问题，数学素养的培养需要教师引导学生积极参与数学活动和实践.合理运用几何画板进行教学，能让学生体验和感悟数学思想，激发学习的内在驱动力，提升学生的数学素养.

[参考文献]

[1]洪燕君，周九诗，王尚志，鲍建生.《普通高中数学课程标准（修订稿）》的意见征询[J].数学教育学报，2015，24（3）.

[2]杨建楠.数学核心素养在“问题—互动”教学中的培育[J].教学与管理，2016（9）.

（特约编辑安平）