二阶椭圆问题基于Morley-Wang-Xu元离散的超惩罚法

周瑞月，黄学海，王文庆

(1．温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035；2．温州商学院基础部，浙江温州 325035)

二阶椭圆问题基于Morley-Wang-Xu元离散的超惩罚法

周瑞月1，黄学海1，王文庆2

(1．温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035；2．温州商学院基础部，浙江温州 325035)

讨论了在间断有限元方法基础上，对二阶椭圆问题加上超惩罚项，用修改后的Morley-Wang-Xu元解二阶椭圆边界值问题，并进行了误差分析．

超惩罚间断有限元方法；Morley-Wang-Xu元；二阶椭圆问题；误差估计

椭圆问题在物理弹性力学中有着非常重要的应用，比如薄板的弯曲、弹簧的震动、杆件的拉伸与扭转、梁的弯曲等．对于解二阶椭圆问题，间断有限元方法已经被广泛运用，文[1]对二阶椭圆方程加上惩罚项，用DG方法对其进行收敛性的分析与证明．文[2]对二阶椭圆问题进行了内部对称弱惩罚方法研究．本文将用Morley元方法[3]来研究其收敛性．以往的Morley元不能进行收敛性逼近分析，因为此单元对于一般的四阶问题[4]是收敛的，而对于二阶椭圆问题来说一般是不收敛的．为获得稳定化格式，我们对二阶椭圆问题加上超惩罚项，采用改进Morley元方法的离散变分形式，用文[5]定义的Morley-Wang-Xu元解二阶椭圆边界值问题，并进行收敛性证明以及误差估计的分析．

1 间断有限元方法

令Ω为n维凸多面体，∂Ω是区域Ω的边界，考虑二阶椭圆边界值问题

在这里假设f∈L2（Ω）．问题（1）的变分形式为求使得

以及

本文的符号说明如下：是边界∂Ω上的单位外法向量．令{Th}h是Ω上一组正则三角剖分，我们用E表示Th上的三角形单元，且h=maxE∈Thdiam(E)，Pr(E)表示在E上的阶数小于等于的所有多项式组成的空间，用Eh表示Th里所有边界的集合，用表示内部边界的集合，用表示∂Ω上边界的集合，边界e∈Eh的长度用he来表示．在区域内部Ee为相邻的两个单元，在边界处为单个三角形．

令E为n维单形，设它的n+1个顶点坐标为且用表示它的重心坐标；用Fi(1≤i≤n+1)表示E的n-1维子单形，但不包含它的顶点ai，用bi表示它的重心；用来表示n-2维子单形，不包含它的顶点ai和aj．一般，用和分别表示E,iF和Sij的侧度．

定义1[5]（Morley-Wang-Xu元定义）用定义n维Morley-Wang-Xu元，满足

1）E是维单形；

2）PE=P2(E)是所有二次多项式组成的空间；

3）φE是由以下自由度组成的向量，

设由以上构成的有限元空间为Vh，令内边存在且n+和n-表示在两个单元公共边界上的外法向量的值．则在边界e上记vh∈Vh这个函数的跃度[6]为：

用Morley-Wang-Xu元求解问题（2）就是求uh∈Vh，使得

误差估计可由以下网格相关范数得到

证明：由（6）式、范数的定义以及Cauchy-Schwarz不等式得

则性质1）得证．

由（6）式和（7）式可知，性质2）显然成立．

2 误差分析

引理1[1]令φ∈H1（Ω），且Δφ∈L2（Ω），若uh∈Vh，则

故引理2证毕．下面需要证明以下误差估计：

其中是原问题（8）式的解，uh是有限元方法（5）的解，我们注意到此时的a（.,.）关于范数是连续的．

定理1 令u∈H3（Ω）和uh分别是原问题（1）和有限元方法（5）的解，则以下估计成立：

设uI∈Vh是在Vh中的二次插值多项式，（11）式右端第一项根据范数的定义以及插值误差估计得到

综合（12）式、（13）式和（14）式，可得

接着证明（11）式右端第二项，由命题1，可以得到

运用（12）式和（13）式，以及分部积分，应用引理1，得

最后，综合（15）式和（18）式，可得（10）式结论．

定理2 令和uh分别是原问题（1）和有限元方法（5）的解，那么以下估计成立：

的解，且wI∈Vh是w在Vh中的二次插值多项式．当Ω是凸的，有正则性估计

成立．类似于（15）有插值误差估计

然后由（20）式和格林公式，可以得到

由（24）式得：

用Cauchy-Schwarz不等式、（22）式和范数的定义，以及插值误差估计得

估计（23）式右端第三项

综合（23）式、（25）式和（26）式得

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Abstract:It is discussed in this paper that the super-penalty term to the second-order elliptic problems is added on the basis of the discontinuous finite element method. The modified Morley-Wang-Xu element is used to solve the second-order elliptic boundary value problems and then to take the relative analysis of the error estimation.

Key words:Super-penalty Discontinuous FEM (Finite Element Method); Morley-Wang-Xu Element;Second-order Elliptic Problems; Error Estimation

(编辑：封毅)

On Super-Penalty Method for Second-order Elliptic Problems Based on Morley-Wang-Xu Element Discretization

ZHOU Ruiyue1, HUANG Xuehai1, WANG Wenqing2
(1. College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035;2. Department of Basic Teaching, Wenzhou Business College, Wenzhou, China 325035)

0241.82

A

1674-3563(2017)03-0023-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.03.004 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2016-10-11

周瑞月(1990-)，女，河南平顶山人，硕士研究生，研究方向：微分方程与动力系统