一类SEIR传染病模型的动力学行为分析

秦 爽，张建刚，杜文举，俞建宁，刘 頔

(1．数理学院；2．交通运输学院，兰州交通大学，甘肃兰州 730070)

一类SEIR传染病模型的动力学行为分析

秦 爽1，张建刚1，杜文举2，俞建宁1，刘 頔1

(1．数理学院；2．交通运输学院，兰州交通大学，甘肃兰州 730070)

研究了一类潜伏期和染病期均有传染力的SEIR传染病模型的动力学行为，分析了平衡点的存在性和稳定性，并利用Hopf分岔准则、范式理论和中心流形定理对传染病模型的Hopf分岔的存在性、稳定性及其方向进行了详细理论研究，数值模拟结果验证了结论的正确性．

SEIR模型；稳定性；Lyapunov系数；Hopf分岔

流行病是由病原体引起的一类疾病，它可以造成人与人、人与动物、动物与动物之间的传播．由于它能在一段时间内迅速传播甚至造成生物的死亡，因此流行病的研究引起了科学家们的广泛关注．传染病作为人类最大的杀手是毋庸置疑的，而人类如何有效的预测、防止、隔离受感染人群，以达到有效的治疗是长期以来数学家、医学家和生物学家等一直关注的热门学科．分岔是一类动态系统的现象，是指变化分岔参数的值当其跨越参数边界时系统的动态属性造成突然“定性”或拓扑变化自然现象．一般分岔现象不会发生在稳定的条件下，只有在不稳定的条件下才会发生这种现象[1]．例如，Hopf分岔就发现在许多系统中．近年来有许多学者专注于连续系统分岔现象的研究[2-7]，分岔现象的发生是证明准周期轨道存在的有力工具．最近三维系统分岔现象研究增加[8]，文[9]应用中心流形定理和分岔理论讨论了一个离散捕食系统的Flip分岔，文[10]重点研究了一个二维离散Lorenz系统的叉式分岔、Flip分岔和Hopf分岔．

随着人们对分岔现象的广泛研究，近年来对这种非线性动力学行为的研究已经逐渐地渗透到了各个学科．在生物学领域，许多学者[11-12]研究了SIR模型及其动力学行为，通过对传染病模型动力学形态的分析和数值模拟，来显示疾病发展过程，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，分析疾病流行原因的关键因素，寻求对其预防及控制的最优策略．相比二维传染病模型，三维模型能更好地从疾病传播机理方面来反映流行规律，使人们了解流行过程中一些全局性态[13]．文[14]研究了一类潜伏期和染病期均有传染力的SEIR传染病模型的控制策略，分析了该模型在连续接种和治疗不同策略下平衡点的稳定性，获得了疾病消除的阈值，通过比较两种控制策略的有效性，得到结果表明接种比治疗能更加有效地控制了疾病，此外同时运用两种控制策略要比单独使用一种策略更有效果，然而该文并没有研究此模型的分岔特性．本文将针对其动力学行为做进一步研究，文[14]模型如下：

其中N为总人口，包括易感者S，潜伏者E，染病者I和移出者R．易感者人群具有常数输入率A和有效接种率，且接种后有永久免疫力；潜伏者人群成为染病者比例系数为，具有双线性发生率β1ES，且传染力相对较弱；染病人群具有双线性发生率β2IS，有一定的因病死亡率，治愈率δ和自然恢复率，同时经治疗者和自然恢复者也具有永久免疫力．这里总人口N=S+E+I+R，为自然死亡率，所有系数都是正数．由于模型（1）前三个方程中不含有R，所以这里只考虑如下系统：

1 平衡点的稳定性分析

定义基本再生数[14]

系统（2）在无病平衡点1P处的Jacobian矩阵为

所以求得系统（2）在1P处的Jacobian矩阵的特征方程为

以及方程的三个特征值为

根据罗斯-霍维兹判据[15]可以得到以下定理：

2 Hopf分岔的存在

定理2 如果方程（5）有一对纯虚根λ2,3=±iω，并且．若有，则当穿过临界值0α时，系统（2）在无病平衡点1P处发生Hopf分岔．

分离方程（6）的实部和虚部

通过计算有：

对方程（5）的两边同时关于求导，有

根据Hopf分岔理论[16]，可知0α便是分岔的临界值，假设，当穿过临界值α0时，系统（2）在平衡点P1发生Hopf分岔．

3 Hopf分岔的稳定性和方向

使用中心流形定理和范式理论[17]来分析系统（2）在平衡点1P处Hopf分岔的稳定性和方向．首先，系统（2）可以写成如下型式

其中J是系统（2）在无病平衡点处的Jacobian矩阵，JT为J的转置．根据（9）式可以计算出如下的线性函数：

定理3 系统（2）在平衡点1P处的Lyapunov系数为

由定理3可知系统（2）在临界值处满足横截条件，若此时l1≠0，那么系统（2）在平衡点1P处发生余维一的Hopf分岔．特别地，当l1＜0时，发生超临界的Hopf分岔；当l1＞0时，发生亚临界Hopf分岔．

4 数值仿真

为了验证以上的理论分析，选取一组参数A=10,μ=0.2,ρ=0.5,δ=0.1,β1=0.05,β2=0.014,γ=0.03,v=0.13，可以得到Hopf分岔的临界值α0=0.543．根据图1和图2观察可知，若α=0.5＜α0，平衡点是稳定的；若α=0.6＞α0，则平衡点是不稳定的．根据定理3的结论，并且经过一系列复杂的计算得到l1(α0)=0.316 4＞0．因此，系统（2）此时在局部平衡点P1处发生亚临界Hopf分岔，并且产生一个不稳定的极限环．

图1 α=0.5当时，系统（2）的时间响应图和相图Fig 1 Time Response Diagram and Phase Diagram of Model (2) withα=0.5

图2 α=0.6当时，系统（2）的时间响应图和相图Fig 2 Time Response Diagram and Phase Diagram of Model (2) withα=0.6

5 结 语

传染病严重威胁人类的健康，长期以来，医学家、生物学家以及数学家等一直关注如何有效的预测、防止、隔离受感染人群及达到有效的治疗．对于传染病模型的研究能更好地反映疾病发展的过程，揭示其流行的规律，可以更加方便的寻求对其预防及控制的最优策略．基于此，本文研究了一类潜伏期和染病期均有传染力的SEIR传染病模型的动力学行为，讨论了无病平衡点的存在性和稳定性，通过选取适当的分岔参数，证明了当分岔参数经过临界值时系统可以发生Hopf分岔，并对Hopf分岔的方向和稳定性进行了详细的分析．有助于流行病学家们有效地预测潜伏期和染病期均有传染力的传染病的发展趋势，有的放矢地采取相应的干预措施，防止传染病的爆发、流行，具有重要的理论价值和实际意义．

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Abstract:It is in this paper that the dynamics behavior of a class of SEIR epidemic model with infectious force in latent period and infected period is studied. And the existence and stability of equilibrium points are analyzed as well. Moreover, the existence, stability and direction of the Hopf bifurcation are analyzed in detail based on the Hopf bifurcation criterion, the paradigm theory and the center manifold theorem. Finally, a numerical modeling result verifies the correstness of the conclusion.

Key words:SEIR Epidemic Model; Stability; Lyapunov Exponent; Hopf Bifurcation

(编辑：封毅)

Analysis on the Dynamics Behavior of an SEIR Epidemic Model

QIN Shuang1, ZHANG Jiangang1, DU Wenju2, YU Jianning1, LIU Di1
(1. School of Mathematics and Physics; 2. School of Traffic and Transportation,Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

O175.1

A

1674-3563(2017)03-0008-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.03.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2016-04-30

国家自然科学基金(11161027，61364001) ；甘肃省科技支撑计划项目(144GKCA018)

秦爽(1992-)，女，黑龙江大庆人，硕士研究生，研究方向：非线性动力学