一类二阶退化双曲型方程Darboux问题解的存在唯一性

赵晓辉，闻国椿，杨广武

(1．河北工程技术学院经济管理学院，河北石家庄 050091；2．北京大学数学科学院，北京 100871；3．河北科技大学理学院，河北石家庄 050018)

一类二阶退化双曲型方程Darboux问题解的存在唯一性

赵晓辉1，闻国椿2，杨广武3

(1．河北工程技术学院经济管理学院，河北石家庄 050091；2．北京大学数学科学院，北京 100871；3．河北科技大学理学院，河北石家庄 050018)

提出和讨论了第二Darboux问题为其特殊情形的斜微商问题，使用复分析（或函数论）的方法证明了问题解的存在性与唯一性.

退化双曲型方程；Darboux问题；解的存在唯一性

由于区域的不同，会对描述运动的微分方程有影响，这便产生了混合型方程问题以及在某个区域中退化为何种方程的问题．在航空航天以及其他有关空气动力学的问题中，双曲型方程的应用，尤为显现．Chaplygin方程φ(y)uxx+uyy=0在解决高速空气动力学中发挥了重要的作用，而F. Tricomi方程yuxx+uyy=0在空气动力学中研究跨音速流问题时，是一个很好的近似模型[1]．在本文中，我们所讨论的方程为：

其中a,b,c,d为x,y的已知函数．显然，Chaplygin方程和F. Tricomi方程均为方程（1）的特殊情形，而以上所说的方程均为混合型方程．在F. Tricomi方程中，当y＞0时为椭圆型，当y＜0时为双曲型，y=0为其退化转型线．

1 二阶退化双曲型方程第一Darboux问题及有关问题

Bitsadze在文[2]中用实分析的方法讨论了二阶一致双曲型方程

的第一、第二Darboux问题．近年来关于Darboux问题及相关问题的研究成果大都是使用实分析的方法[3-5]，而使用复分析或函数论方法的研究成果甚少．

对于一个具体的二阶双曲型方程，可通过解一个常微分方程求出其特征线．因方程（1）中含有K(y)，我们只能用一般形式表示其特征线．我们所讨论的平面单连通区域G，由x轴上的线段Γ0=[0,2]及方程（1）的位于下半平面的两条特征线：

问题D1求在闭区域上的一个复变实值函数u(z)，适合方程（1），且满足如下边界条件：

其中φ(z),ψ(x)满足条件

下面提出的斜微商问题，包含第二Darboux问题为其特殊情形，我们简记为：

问题P 求在闭区域上的一个复变实值函数u(z)，适合方程（1），且满足如下斜微商条件及点型条件

其中，l是Γ0,Γ1上每一点处给定向量，b0,b1都是实常数，而满足条件

此处α(0＜α＜1),k0,k2都是非负常数．

易知，前述问题D1是问题P的一种特殊情形．

2 问题P解的存在唯一性的证明

2.1 区域为G′的情形

先来考虑带非特征边界的一般区域G′，并证明在G′上方程（1）之问题P的解的存在唯一性．这里区域G′的边界是Γ0∪Γ′，其中Γ0如前面所述，Γ′=Γ1′∪Γ′2，而Γ1′, Γ′2的参数表示为

讨论在区域G′上的方程（1）带有如下斜微商边界条件及点型条件的斜微商边值问题，即问题P′：

于是曲线Γ1′可表示成：作如下变换

其中h,q都是实变量．该变换的逆变换为

易知，变换（14）把区域G′映射为区域G，又变换（14）及它的逆变换（15）可写成

这是在区域G′上方程组（13）的另一形式，其中E=F=Cu+d．假设方程组（18）在G′上满足条件C，经过变换（14），可得，其中ξ=u+q，yq，并得

通过变换（16），边界条件（11）则转化为

定理1 设方程（1）在G′上满足条件C，则方程（1）的问题P′存在唯一解u(z)．

2.2 区域为G′′的情形

再来讨论在区域G′′上的情况，G′′是以Γ0∪Γ′′（Γ′′=Γ1′′∪Γ′2′）为边界的单连通区域，这里Γ1′′, Γ′2′的表示式为

其中r1(0)=0，r2(2)=0，r1(x)＞0，0＜x≤l，γ1(x)在0≤x≤l,γ2(x)在l≤x≤2连续，且除了有限个点外它们的一阶导函数连续．又其中J1(x),J2(x)分别是x-2=G(y)，x=-G(y)的反函数．而表示y=-γ2(x)在点p2=[x,-γ2(x)]的斜率大于特征线在点P2处的斜率．记记在G′′上的问题P为问题P′′．我们的方法仍然是将其转化为相应的Riemann-Hilbert问题，为此讨论区域G′′上方程（18）带有边界条件：

此处α(0＜α＜1),k0,k2都是非负常数．

由条件（21）即求得h=x+G(y)之反函数即q=2τ(h)-h,0≤h≤2．又曲线Γ2′′可表示为，即

其中h,q都是实的变量．该变换之逆变换为

则有

又方程组（18）转化为

而通过变换（27），在Γ0∪Γ1′′上的边界条件转化为

定理2 若方程（1）在以Γ0∪Γ′′∪Γ′2′为边界的区域G′′上适合条件C，且在Γ′′=Γ1′′∪Γ′2′上满足边界条件（22），则问题P′′有唯一解u(z)．

我们所实施的变换都是可逆的，具体说经过变换（25）、（27）边界Γ1′′, Γ′2′变回为Γ1′, Γ′2（仍要求Γ1′, Γ′2满足（10）中条件），而变换（14）又把G′映射回G，便解决了所提出的问题P．即有

定理3 若方程（1）在以Γ0∪Γ1∪Γ2为边界的区域G上适合条件C，则其问题P存在唯一解u(z)．

3 结 语

由于航空航天和空气动力学等实际问题的需要，研究混合型偏微分方程及退化方程是数学义不容辞的任务，Chaplygin方程和F. Tricomi方程都是在这种意义下提出的，并发挥了重要作用．就方程来说，我们所研究的方程不仅将Chaplygin方程和F. Tricomi方程作为特例，而且将Bitsadze所讨论的方程也作为其特殊情形．对于双曲型方程，一般来讲，边值问题是没有意义的，所谓第一Darboux问题是在区域的一部分边界上使所求函数取已知函数，而在一部分边界上给出点型条件．所谓第二Darboux问题是在区域的一部分边界上使所求函数在外法线方向的导数取已知函数，而在一部分边界上给出点型条件．显然，第二Darboux问题为我们所解决问题P的特殊情形．历来认为使用函数论方法只能解决椭圆型方程问题，本文几经变换，将讨论问题划归为Riemann-Hilbert问题．从而无论在解决Riemann-Hilbert问题中，还是在讨论第一Darboux问题时，都是建立解的表示式、进行先验估计、使用schauder等不动点定理等函数论的方法来讨论解的存在唯一性．

[1] 柯朗，希尔伯特．数学物理方法：卷Ⅱ[M]．熊振翔，杨应辰，译．北京：高等教育出版社，1981：179-187，526-530.

[2] Bitsadze A V. Some classes of partial differential equations [M]. New York: Gordon and Breach, 1988.

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[4] Lupo D, Payne K, Popivanov E I. On the degenerate hyperbolic Goursat problem for linear and nonlinear equations of Tricomi type [J]. Nonlinear Anal-Theor, 2014, 108: 29-56.

[5] Liu L, Xu M, Yuan H R. A mixed boundary value problem for Chaplygin's hodograph equation [J]. Math Anal Appl,2015, 423(1): 60-75.

[6] Wen G C. Darboux type problem for degenerate hyperbolic equations of second order [J]. Adv Math, 2007, 36(4):467-475.

[7] 闻国椿，杨广武．二阶非线性椭圆型复方程的黎曼-希尔伯特问题[J]．河北化工学院学报，1980（2）：49-57．

[8] Wen G C. The Riemann-Hilbert problem for mixed complex equations of first order with degenerate rank 0 [J]. Acta Math Appl Sin-E, 2015, 31(1): 31-42.

Abstract:The problem of oblique derivative of the second Darboux problem for its special case is presented and discussed in this paper. And then the method of complex analysis (or function) is applied to prove the existence and uniqueness of the solution of such a problem.

Key words:Degenerate Hyperbolic Equations; Second Darboux Problem; Existence and Uniqueness of Solutions

(编辑：封毅)

The Existence and Uniqueness of Solutions for the Second-order Degenerate Hyperbolic Equations with Darboux Problems

ZHAO Xiaohui1, WEN Guochun2, YANG Gangwu3
(1. School of Economics and Management, Hebei College of Polytechnics, Shijiazhuang,China 050091; 2. Academy of Mathematical Sciences, Peking University, Beijing,China 100871; 3. School of Sciences, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, China 050018)

O175.27

A

1674-3563(2017)03-0016-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.03.003 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

2016-05-13

国家自然科学基金(10471149)；河北省教委基金(2350044)

赵晓辉(1982-)，女，河北顺平人，讲师，硕士，研究方向：偏微分方程的函数论方法