对一道力学选择题的再思考

高爱英

（安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖 241000）

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对一道力学选择题的再思考

高爱英

（安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽芜湖 241000）

本文通过严谨的物理模型建立和数学定量推算，分析出圆锥摆转动角速度和摆线与竖直方向夹角之间的关系，并绘制出它们之间关系图像，纠正了很多复习资料的不严谨论述.

圆锥摆；制约关系；临界条件

很多复习资料频频出现这样一道力学选择题：如图1所示，一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做圆锥摆运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，关于ω与θ关系图像，下列图2中正确的是

图1

图2

而该题所附的答案基本如下：对小球进行受力分析，受重力mg、绳子的拉力F，设绳子与杆的结点到小球重心的距离为L，则有

Fcosθ＝mg，

Fsinθ＝mω2Lsinθ.

以上这种答案让人产生几点疑惑：（1）从物理量之间的制约关系看，应该是小球转动角速度ω的变化引起绳子与竖直方向夹角θ的变化，而不是角度θ引发角速度ω的变化，所以，如果是θ－ω绘图更好接受吧？（2）从运动的临界条件看，假设θ可以减小到最小θ＝0，绳子给小球的拉力竖直向上，谁来给小球提供向心力让它完成角速度为圆周运动呢？（3）所附答案仅仅分析小球离杆的情况，那么没有飞离的时候是什么关系呢？

下面就从这几点着手分析.

如果小球的半径不可忽略，在静止或者以很小的角速度转动时，它都会和杆之间直接接触并产生一个弹力，且这时产生的夹角（其中为R小球半径），如图3所示.当小球以较小的角速度ω转动时，对小球受力分析，受重力mg、绳子的拉力F和杆的弹力FN，则有

Fcosθ0＝mg，

Fsinθ0－FN＝mω2Lsinθ0.

当小球即将要飞离杆的瞬间，则有

FN＝0.

对应着一个临界角速度

图3

结合以上的分析，可见答案所附图像是不准确的.正确的θ－ω图像应该是分段的，如图4所示.或者绘制ω－θ图像，也应该如图5所示.

图4

图5

1 王贵兵.例谈高中力学中临界问题［J］.中学物理，2006（11）：60.

2 杨天宝.浅谈锥摆系列问题的教学构想［J］.物理教师，2009（8）：63.

由（1）、（2）两式可得

2017－03－07）