双带电圆环轴线上电场强度和电势的分布探究——由一道试题引发的思考

杨 军

（安徽省太和一中，安徽太和 236600）

·问题讨论·

双带电圆环轴线上电场强度和电势的分布探究
——由一道试题引发的思考

杨 军

（安徽省太和一中，安徽太和 236600）

对一道关于“双带电圆环轴线上电场强度和电势的分布情况”的物理试题进行定量计算，得到电场强度和电势的分布情况与双环的距离有关，进而对双环距离取不同值时进行讨论，运用计算软件绘制出不同条件下电场强度和电势的分布图像，猜想并尝试证明临界距离的大小.

带电圆环；电场强度；电势；轴向分布

某高考模拟试卷上有这样一道试题：

题目.如图1所示，两圆环A、B上均匀分布相同的正电荷，x轴垂直于环面且过两圆环圆心O1和O2，P为O1O2的中点，下列说法正确的是

（A）P点的电场强度为0.（B）O1点的电场强度为0.

（C）O1的电势一定等于O2点的电势.

（D）从O1点沿x轴到O2点，电势一定先降低后升高.

图1

1 关于（A）（B）（C）项的分析解答

参考答案：两个圆环上电荷在P点的电场等大反向，故P点的电场强度为0，选项（A）项正确；O1点的电场强度为A环上的电荷在O1处产生的电场强度与B环上的电荷在O1处产生的电场强度的矢量和，A环上的电荷在O1处产生的电场强度为0，但是B环上的电荷在O1处产生的电场强度不为0（方向向左），选项（B）错误；根据对称性可得O1点的电势一定等于O2点的电势，选项（C）正确.

以上是参考答案给出的关于（A）（B）（C）选项的分析解答，这是不存在争议的.争议的焦点是在（D）选项的解答，即从O1点沿x轴到O2点，电场强度和电势是如何分布的.

2 对O1O2连线上强度和电势分布情况的定量计算

（1）单个带电圆环轴向场强及电势分布.

如图2所示，一个半径为R的均匀带电圆环，电荷量为＋Q，在其轴线以圆心为坐标原点建立x轴.

图2

所以

取无限远处电势为0，则P点的电势U为

（2）两个带电圆环轴向电场及电势分布.

如图1所示，对两个圆环的问题，取P点为坐标原点，O1坐标为－d，O2坐标为d，由（1）（2）式得圆环A、B在x轴上各点产生的电势U1、U2及电场强度E1、E2分别为

则x轴上各点的电势U为：可得到x轴上各点的场强

欲求U的极值，只需要求E＝0的解就行了，但是，E＝0最终化为一个复杂的高次（7次）不定方程，方程的实数解与实数解的个数都与d和R都有关系，只有确定了d的值，才能讨论方程的实数解及实数解解的个数.这里的复杂运算可以用Mathematica数学计算软件来帮助完成.为了简化运算，取kQ＝1，R＝1，以下表达式的d为d与R的比值，x为x与R的比值.则x轴上各点的电势为U和场强E可以化简为

以下所作出的图像，横轴表示x与R的比值，纵轴表示场强（或电势）的相对大小.

3 两种情况下电场和电势的分布

（1）当两环之间距离较近时，x轴上场强和电势的分布情况.

U的表达式化简为

运用Mathematica软件计算，可以得到电场强度的分布图像如图3（a），电势的分布图像如图3（b）.

图3

由图像可以看出，E＝0确实存在唯一实数解，即x＝0；在O1P段上，即［－d，0］区域电场强度方向向左，在PO2段上，即在［0，d］区域电场强度方向向右；在O1O2连线上，即在［－d，d］区域内，电势是先升高后降低.

（2）当两环之间距离较远时，x轴上场强和电势的分布情况.

当d＝R时，即d＝1，E的表达式化简为

U的表达式化简为

运用Mathematica软件计算可以得到电场强度的分布图像如图4（a），在［－1，1］区间内电场强度的分布如图4（b），电势的分布图像如图4（c）.

图4

由图像可以看出，方程E＝0确实存在3个实数解.可以得到方程在实数范围内的3个解为x＝0，x＝±0.773485.在O1P段上的［－1，－0.773485］区域内，电场强度方向向左，在区间［－0.773485，0］内，电场强度方向向右；PO2段与O1P段对称；在O1O2连线上，即在区间［－1，1］内，电势是先升高，后降低，再升高，再降低.

4 对d临界值的讨论

从以上讨论可以看出，在R（R＝1）一定的情况下，当d比较小时，E＝0的方程的实数解只有唯一一个；当d比较大时，E＝0的方程的实数解有3个.

那么，当d变化时，方程E＝0从唯一实数解的情况过渡到3个实数解解的情况过程中，临界情况的d值是多少呢？这个问题从前面的关系式中不好求解，好在单环问题给了笔者指导.

（1）对d临界值的猜想.

单环的问题中，由（1）可以求x轴上何处的电场强度最大：

（2）对d取临界值时，x轴上场强和电势的分布情况.

计算可得电场的分布图像如图5（a），电势的分布图像如图5（b）.可以看出x轴上场强和电势的分布情况相似，只是在时，坐标原点附近的电场和电势分布更加“平坦”.

图5

（3）对临界距离猜想的证明.

5 结论及反思

通过以上的分析讨论可以得到：

由此可见，本文开始给出的3种解法得到的情况都是错误的，解法1也就是参考答案给出的结果是不可能存在的；解法2给出的结果是在两环之间距离小于槡2 R时才能成立；解法3给出的结果是在两环之间距离大于槡2 R时才能成立.

物理试题需要用合适的物理情境来考察考生的知识、能力和科学素养.一个好的物理情境要能体现物理学科的自身价值，做到理论联系实际，体现物理知识在生产、生活中的广泛应用，体现科学技术与社会、经济发展的联系.现在各类考试中的物理命题都非常重视对物理情境的创新，创新是好事，然而必须坚持科学性原则，切不可出现因为一味追求创新而出现不符合实际、有科学性错误的物理情境.

1 梁灿彬，秦光戎等.电磁学［M］.北京：高等教育出版社，1980：17－20.

2 四川大学数学系高等数学教研室.高等数学（第一册）［M］.北京：高等教育出版社，1995：17－20.

3 伍秀峰.探讨一幅电势在坐标轴上分布的图像［J］.物理教师，2013，34（10）：53－54.

4 翁以忠.关于等量点电荷的图像问题讨论［J］.物理教师，2011，32（2）：47－48.

5 杨习志.利用Matlab研究点电荷间的电势与电场强度的分布问题［J］.物理教师，2015，36（4）：69－72.

6 欧剑雄.高中物理命题中物理情境的科学性探究［J］.物理教师，2013，34（9）：19－22.

2017－03－12）