由一道高考题引发的求解离心率范围的思考

云南省昆明市寻甸县柯渡镇柯渡中学(655212) 杨彩清

由一道高考题引发的求解离心率范围的思考

云南省昆明市寻甸县柯渡镇柯渡中学(655212) 杨彩清

圆锥曲线问题一直都是浙江高考中的核心内容之一,圆锥曲线对于多数考生来说基本上都是有解题的思路,但往往都是计算到中途时搁浅或结果出错.究其原因,主要是学生没有运用好题中所给的条件,导致方法选择不当或运算不合理,解题策略欠佳.因此,本文通过一道高考题的层层剖析,主要研究圆锥曲线中离心率取值范围的解题策略,归纳出解决这类问题的五种方法.

离心率范围 曲线交点个数

一、试题呈现

(1)求直线y=kx+1被椭圆截得线段长(用a,k表示);

图1

(2)若任意以A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

二、初识庐山

第(2)题是一个已知未知半径的圆与未知长轴的椭圆的交点个数,要求椭圆离心率的取值范围,也就是求a的范围.从表面去看,感觉难度颇大,官方标准答案提供了1种解题方法,用到了第(1)题的弦长,理由是由于圆与椭圆至多有三个交点和图形的对称性,可得圆与椭圆y轴单侧不可能有2个公共点,也就是考虑弦长在y轴单侧处处不相等.但是官方提供的这个参考解答过于繁琐,而且计算量太大,不利于高考解题.那么如何运用学生的思维来解决这道题,还有没有与标准答案不同的解法,有没有比标准答案更贴近学生思维的答案,本文尝试对这些问题进行回答.

第(1)题考查直线与椭圆相交的弦长问题,比较简单,属于送分题,同时也可以为第(2)题的解答做铺垫.要解决第(1)题,只需要联立椭圆与直线的方程,化简可得一个含有a,k的一元二次方程,再利用圆锥曲线的弦长公式,就可以得到弦长为第(2)题是求椭圆离心率范围问题,我们对于这类问题一般都是需要从条件中构造出关于的不等式,而本题能从条件中挖掘出不等式知识也就是圆与椭圆至多有三个公共点.所以本题的关键如何从两个曲线相交的交点个数问题构造出不等式.

三、拾级而上—如何构造不等式

现在我们把目光聚焦到如何从两个曲线相交的交点个数问题构造出关于的不等式上来.一般解析几何中的曲线交点个数问题可以从两方面考虑解决:一、代数法:将交点个数问题转化为两个曲线方程组的解的个数问题,讨论从圆与椭圆方程组解的个数来构造不等式;二、几何法:讨论两曲线的交点的运动轨迹和交点个数的临界点(何时两曲线没有交点,何时有2个,何时有4个),再由临界点时弦长(圆的半径)的长度来构造不等式.

(一)考虑方程在区间内的个数

由以A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,可以很自然地想到设圆的方程,与椭圆联立方程组,消去其中一个元,化简为一个含有a,r的一元二次方程,再根据椭圆中x、y的取值范围,就可以将题中的交点问题转化为该一元二次方程在区间内根的个数问题,再用函数图像法、判别式法、补集法讨论出方程在区间内根的个数问题,最后通过上述问题的转化构造出含有a,b,c的不等式.解法如下:

设圆方程为x2+(y−1)2=r2,与椭圆方程联立,得

从这个方程组中,很明显消去x比较简洁,化简可得(a2−1)y2+2y+r2−a2−1=0,再由椭圆的性质,得−1≤y1.根据条件,可得方程(a2−1)y2+2y+r2−a2−1=0在(−1,1)上最多只有一个解.若此方程有两个解,根据圆和椭圆的对称性,此时圆与椭圆就有四个公共点,与条件不符,矛盾.记f(y)=(a2−1)y2+2y+r2−a2−1,讨论f(y)在(−1,1)上至多一个零点时a的范围即可.从函数f(y)的解析式中,我们发现此函数含有a、r两个参数,要求出a的范围,必须对r范围进行讨论,那么对于圆的半径r(r>0)来说,讨论的分界点在哪里?要说明这个问题一般有两种方法:一、利用特殊值法:也就是说代入一些特殊点,根据函数的图像与性质,猜出r讨论的分界点;二、利用题中的必要条件,求出r的分界点,这种方法对于处理多变量的取值范围问题非常有效,也是非常常用的方法.我们知道函数f(y)在开区间(−1,1)上至多一个零点的必要条件就是f(−1)f(1)0.由函数f(y)的解析式,得f(1)=r2>0,f(−1)=r2−4,即当f(−1)=r2−40时,02分别讨论f(y)在(−1,1)上至多一个零点时a的范围.

1.函数图像法

考虑要使得f(y)在(−1,1)上至多一个交点,由抛物线开口向上(a2−1>0)的图像与性质,得只需将∆ =4−4(a2−1)(r2−a2−1)0即可,化简得a4−a2r2+r20.上式是含有参数r的不等式,一般解含参数不等式变量取值范围问题有两种方法:①函数图像法:将不等式问题转化为函数零点问题,把不等式的主元看做函数的自变量,再根据主元的范围来考虑函数的零点问题;②分离参数法:就是将不等式两边分别只含有参数和变量,再考虑含有变量的函数的最值即可.

①函数图像法:记h(r)=(1−a2)r2+a4,r>2,由h(r)0及h(r)函数图像性质,得h(2)0,化简得a26 2,即a.

②分离参数法:由a4−a2r2+r26 0,得

2.补集法

假设函数f(y)在(−1,1)上有两个零点,得

化简得

即a2>2.由于函数f(y)在(−1,1)上最多一个交点,所以a22.综上所述,以上两种方法均可得到1<√a.从而离心率,因此椭圆离心率的取值范围是

(二)考虑弦长在y轴单侧处处不相等

要构造不等式,也可以从它们交点的几何角度出发,由题中条件圆心A(0,1)刚好在椭圆的上顶点处,那么可知这圆与椭圆相交的交点具有关于y轴的对称性.而题中条件给出这两个曲线相交的交点个数至多有三个,则它们在y轴单侧上不可能有两个公共点.也就是它们的弦长在y轴单侧处处不相等,因为这些弦长都是圆的半径.这样一来,就可以由第(1)题中的弦长公式构造出不等式了.

图2

根据上述的思考,两曲线相交的交点具有关于y轴的对称性,且题中条件是交点个数至多有三个,那么不妨考虑这种情况的补集.也就是假设圆与椭圆的公共交点有四个,因为它们的交点个数只有0个、2个和4个这三种情况.由交点的对称性,设圆与椭圆在y轴左侧的椭圆上有两个不同的交点P、Q,满足|AP|=|AQ|.此时由第(1)题中弦长的结论,就可以列出两弦长相等的方程.但是这种解法计算量非常大,这种方法是浙江省考试院给出的答案.

我认为并不适合浙江的考生,一般在圆锥曲线中出现等腰三角形时,往往不直接利用长度,而是取出等腰三角形底边的中点,再根据三线合一定理,可知此中线与底边垂直.即它们各自的斜率乘积为−1.由点差法,可得关于a,中点坐标的一个方程,再根据中点坐标的范围得出a的范围.

图3

设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点M(x0,y0).由点差法,得

再根据中点坐标公式,得

代入上式,得

由 |AP|=|AQ|,得 AM⊥PQ,从而有 kAM·kPQ=即

(三)考虑弦长在y轴单侧的单调性

我们根据3.1.2的分析,可以发现弦长PA从A到B逆时针旋转半圈处处不相等,即弦长在y轴在单侧单调,从而可以构造弦长中参数k,a的不等式.

1.考虑弦长在y轴单调

设k2=t,从上述分析,可知g(t)在t∈(0,+∞)上单调递增.而g(t)是一个倒对勾函数的复合函数,那么要使得它是单调递增函数,只需要分子小于或等于分母即可,即化简得从上式可知这是一个关于t的一次不等式,要使得它在t∈(0,+∞)上不等式成立,可设h(t)由h(t)图像可知,只要即可,解得a22.故有因此椭圆离心率的取值范围是

2.特殊值法—考虑弦长的最大值

由解法一中,我们发现弦长PA在y轴左侧(由于交点的对称性,考虑一边即可)从A到B逆时针旋转半圆中单调递增,那么PA的最大值就是P点与B的重合的时候,即|PA|max=|AB|.既然弦长PA的最大值已经知道,接下来只要将PA的表达式求出,再根据弦长解析式的图像与性质和最大值,就可以构造关于a的不等式了.那么用什么变量来表示PA?如果用上述的弦长公式,那么无法体现当PA取到最大值时的不等式.因为当|PA|max=|AB|时,kPA的斜率不存在,所以我们可以用两点间距离公式来表示PA.

由于|PA|max=|AB|,此时点P与点B重合.即y=−1,那么只需要将抛物线的对称轴在直线y=−1的下方即可,即化简得故有因此椭圆的离心率的取值范围是

以上展示了3种与标准答案不同的解法,由于官网已经给出标准答案,本文就不再列出浙江考试院的标准答案,请读者自行对比.

四、见山不是山— 求圆锥曲线离心率取值范围问题的常用方法

从上述3种不同的解法中,我们发现要解决像浙江高考压轴题这种较为复杂的离心率的问题,往往需要通过建立函数表达式,利用点的坐标的范围和题中给的隐含条件,确定好定义域,再根据函数的图像与性质,转化为关于a,b,c的不等关系,最后求出该圆锥曲线离心率的取值范围,这种方法我们称为函数与方程思想法.但由于这类问题出题方向错综复杂,没有办法给出一般常用的方法,在这里再讲解几道题也没有意义,所以就不一一列举了.总之复杂的离心率问题往往是与函数的定义域、图像与性质结合起来的,所以就需要学生融会贯通,打好基础,否则对于这类题将束手无策.那么对于一般的求圆锥曲线的离心率取值范围问题,我们有没有常用的求此类问题的方法哪?笔者在这里举了4种常用的求圆锥曲线离心率范围的方法.

在高中数学的解析几何中,求圆锥曲线的离心率的取值范围,一般都需要尽快列出与有关的方程或不等式,然后消去b或c就能进一步解决问题,一般来说有以下几种比较常用的方法.

(一)定义法(利用三角形的三边关系)

根据圆锥曲线的第一定义或统一定义,利用题中的等量关系,列出与a,b,c有关的不等式.教师在圆锥曲线刚开始教学时也是围绕着定义展开的,因为定义准确地揭示了圆锥曲线这一概念内涵,因此定义法应当是解决离心率问题的基本解题策略.要利用圆锥曲线的第一定义求离心率范围,往往是需要借助三角形的三边关系构造不等式.例如下面例1(2015年台州市名校联考第13题),就是利用定义求离心率范围的典型习题.

例1设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若C上存在P满足|PF1|:|F1F2|=3:2,求圆锥曲线C的离心率的范围.

分析 要求圆锥曲线的离心率,首先需要确定上述圆锥曲线是何种曲线,然后才可以利用曲线的第一定义求出a,b,c的关系,最后利用离心率公式求出.

解析 由题意可设|PF1|=3k,|PF2|=2k,k>0,①若C为椭圆,由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a=5k,则k=a.此时|PF|=a,|PF|=a.由

②若C为双曲线,由双曲线的定义,可得||PF1|−|PF2||=2a=k,则k=2a.此时|PF1|=6a,|PF2|=4a.由

解得1

(二)利用圆锥曲线的基本性质

由我们已经学习的两类焦半径公式(I)、(II),那么我们往往就可以根据椭圆的焦半径PF∈[a−c,a+c],双曲线的焦半径PF>c−a或PF 6 c+a,抛物线的焦半径以及双曲线的渐近线的斜率能否起作用,还有点在曲线上,需要考虑点的坐标的范围.运用以上不等关系,是解决圆锥曲线离心率问题的最常用方法.此时一般需要构建一个以|PF1|、|PF2|(P在圆锥曲线上)为边的△PF1F2,算出|PF1|、|PF2|.再利用圆锥曲线的定义,通过|PF1|,|PF2|的关系,建立一个含有a,b,c或其中任意两个的不等式,从而求出离心率的范围.例如例3,这就是一道典型的利用圆锥曲线的基本性质求离心率范围的题目.

图4

分析由线段AP的垂直平分线过点F,可得|PF|=|FA|.法一、此时可以利用焦半径公式(I),设P的坐标,根据P点在椭圆上,求出P的横坐标的范围.建立一个含有a,b,c的不等式,就可以求出离心率取值范围;法二、此时可以利用焦半径公式(II),设∠PFA,根据∠PFA的范围,建立一个含有a,b,c的不等式,就可以求出离心率取值范围;法三、可以根据椭圆的焦半径PF∈[a−c,a+c],建立一个含有a,b,c的不等式,就可以求出离心率取值范围.

解析一 利用圆锥曲线上点的坐标的范围

设P(x0,y0),则由线段AP的垂直平分线过点F,得|PF|=|FA|.此时利用焦半径公式(I),可得a−ex0=解得又由于点P在椭圆上,得x0∈ [−a,a],即两边同除以a可解得

解析二利用焦半径的范围

解析三利用三角函数的有界性

设∠PFA=θ,由线段AP的垂直平分线过点F,得|PF|=|FA|,此时利用焦半径公式(II),可得−c.又由于点P在椭圆上,且椭圆是轴对称图形,不妨可设θ∈(0,π],化简得cosθ=1− ∈[−1,1).又由椭圆的离

从上述的三种解法三中,我们发现这类题型往往还需要利用数形结合的思想,挖掘出条件中隐含的关系,这样往往能起到事半功倍的效果.当然圆锥曲线中还有一大类的离心率取值范围问题跟数形结合思想也紧密相连,那就是临界点法.

(三)临界点法(数形结合法、最值法)

这类题型的条件往往会给出在圆锥曲线上存在某个点,使得某个角等于某个确定的值,或者面积最大值为某个确定的值,此时我们只需要考虑这个动点在何处取到最大值即可.例如例题4,这是一道非常常见的离心率范围题.

分析如图,由题意,得要在椭圆上找到一点P,使得 ∠F1PF2=60◦,就必须要保证 (∠F1PF2)max>60◦.否则就不存在这样的点,那么本题的关键就是考虑当∠F1PF2取到最大时,P的位置在何处即可.只要求出P的位置,那就可以构造出关于含有a,b,c不等式,问题得解.

图5

以下证明:当P在短轴的端点时,∠F1PF2取到最大.

证明 设∠F1PF2=θ,F1P=r1,PF2=r2,|F1P|+|PF2|=r1+r2=2a,此时在△F1PF2中利用余弦定理可得,

当且仅当r1=r2时,等号取到.此时△F1PF2是等腰三角形,即P在短轴的端点时,∠F1PF2取到最大.

解析由椭圆上存在一点P,使得∠F1PF2=60◦,得(∠F1PF2)max>60◦.又由上述证明可知,P在短轴的端点A时,∠F1PF2取到最大.即 tan(∠F1PF2)max=tan∠F1AF2.从而tan∠OAF2=解得

当然这道题其他解法还有很多,这里我就讲这样一种最值法.原因在于这种方法相对比较简单,特别适合做选择题、填空题,对大题也有一定的帮助,而且对于学生来说也便于理解.类似这样的结论还有很多,我在这里列举一部分,至于证明就不详细展开了.

当然双曲线中最常见的离心率问题就是直线与双曲线交点个数问题,特别是有且只有一个交点时,往往也需要考虑渐近线的斜率,再利用数形结合思想求出离心率范围.例如例5,这也是一道非常常见的离心率取值范围问题.

分析由图,可知要使直线与双曲线右支有且只有一个交点,只需考虑直线的斜率与渐近线的斜率的大小关系进行判断,然后建立含有a,b,c的不等式,求出离心率范围.

图6

解析由过F且倾斜角为60◦的直线与双曲线右支有且只有一个交点,得解得e2.

以上三种方法和高考题讲解中的运用到函数方程思想法、坐标法,这五种方法都是在平时解圆锥曲线的离心率范围问题经常会用到的方法,除上述方法外,当然还有其他方法,但由于不是很常用,缺乏代表性,所以在这里就不详细说明了.

五、一览众山小

浙江高考试题中圆锥曲线离心率问题是一类既常见又有一定综合性的题目,该类题目涉及面广,题目条件又具有多样性,如何根据图形与条件,找出关系,寻求规律,要求考生对知识的广阔性、系统性有深刻的理解,要求考生具备扎实的基本功和较好的数学素养.虽然浙江数学高考重视“多想一点,少算一点”,但是很多学生却往往“失误”在一些基本的运算上,所以解决高中数学解析几何的压轴题都需要提升自己的计算能力.在高考数学中,若想拿到高分,就不能仅仅停留在某种“解题术”的训练上,还需要及时地提取并掌握其中的通性通法,更重要的是要感悟题中蕴含的数学思想方法的意识.