安徽省中考数学“第14题现象”引发的思考

安徽省合肥市第四十六中学 (邮编：230601)

安徽省中考数学“第14题现象”引发的思考

安徽省合肥市第四十六中学许红(邮编：230601)

从2010年以来，安徽省中考数学第14题一直是多选型填空题，其立意新颖、可信度高、综合性强、深入考查了学生的多种能力，具有一定的选拔功能.历年来这道是学生失分率较高的一题，往往也是全卷最难的一题，尤其是几何综合题，我们不妨称之为“第14题现象”.我们通过对近三年安徽省中考数学第14题进行深入分析、探究,发现其存在着某些"共性",现总结如下，供日常教学或中考复习参考.

1 试题解析

图1

例1 (2014年第14题)如图1，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是______．(把所有正确结论的序号都填在横线上)

③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

图2

解析这是一道以平行四边形为题材背景，结合全等三角形、等腰三角形以及直角三角形构建而成的一道综合题.要求学生能够运用数学的眼光分辨出图中的基本图形，以及它们之间的关系，从而进行有关的操作、计算、证明与探究，揭示数学本质，这对于培养、训练学生的空间观念、动手操作、合情推理和探究能力等具有重要的作用.

②如图2，通过作辅助线(延长EF，交CD延长线于M)证△AEF与△DFM全等得FE=MF，由CE⊥AB，得∠BEC=90°，由平行四边形性质得到AB∥CD，所以∠ECD=∠BEC=90°，又CF是Rt△ECM斜边EM上的中线，所以FC=FM，故选项②正确；③在②的基础上很容易可得EF=FM，根据中线的性质可以得到S△ECM=2S△EFC=2S△CFM,

图3

显然MC>BE，所以S△BEC<2S△EFC,故选项③是错误的；④在①、②的基础上得DF=DC,CF=FM，所以∠DCF=∠DFC=∠M，又由AB∥CD得∠AEF=∠M=∠DFC，根据三角形外角定理可得∠EFC=∠DCF+∠M=2∠AEF，所以∠DFE=3∠AEF.

本题也可以根据角度换算得到结果，如：

设∠FEC=x，则∠FCE=x，∠DCF=∠DFC=90°-x，

根据三角形内角和定理得∠EFC=180°-2x，则∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，

又∠AEF=90°-x，所以∠DFE=3∠AEF，故选项④正确．

例2 (2015年第14题)已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：

③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8.

其中正确的是__________(把所有正确结论的序号都选上).

解析本题以三个实数满足一个连等式为背景命制而成，综合考查等式的基本性质、分式与整式的运算、解一元一次方程等相关知识，对学生的能力要求较高.

对于选项③，把条件a=b=c代入条件等式a+b=ab=c，可得关于a的等式2a=a2=a，解得a=0，故选项③正确.

对于选项④，由条件，可按三种情况讨论，即a=b或b=c或a=c，分别代入等式a+b=ab=c，均可得a+b+c=8，故选项④正确．

图4

例3 (2016年第14题)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：

①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；

其中正确的是__________．(把所有正确结论的序号都选上)

解析本题以矩形为背景，通过折叠构建轴对称图形来解决问题，由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以将问题转化为线段和角的相等关系，再利用勾股定理或相似来求解.

对于选项②，如图4，由条件得CE=FE，BF=BC=10，又由于∠DFE=∠ABF≠∠ABG≠∠AGB，所以△ABG与△DEF不相似，所以②是错误的；

对于选项④，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，在Rt△HGF中，根据勾股定理计算得AG=GH=3，GF=5，所以AG+DF=GF，所以④正确．

2 对课堂教学的启示

纵观近年安徽省中考数学试卷，作为选择型填空题的第14题，是全卷难度较大的一题，主要是这一题的综合性较强，考查面广，对学生的知识、技能与能力都有很高的要求.虽然我们知道，在中考时，有许多学生是凭着感觉在“蒙”！但中考作为选拔性考试，有这么一道对学生能力要求较高的试题还是非常必要的！这样的题目在日常教学中应该让学生当作非选择型填空题来尝试解答，引导学生进行深入探究，让学生能够触及知识和方法的本质，使他们知其所以然.

(1)从理解数学本质的角度进行概念教学

数学概念是构建数学理论的基石，是推导数学定理和数学法则的逻辑基础，也是提高解题能力的前提.在教学中要注重概念产生的背景，揭示概念形成的过程，达到对概念的实质性理解，实现真正的内化.通过近几年安徽省中考数学第14题的分析，考查内容虽然侧重点有所不同，但以数学核心概念和主干内容为载体考查学生的数学能力与数学素养始终是主要目标.教学中教师要帮助学生分析概念的内涵与外延，相近概念及性质的区别和联系，关注概念、性质中独特的成分，以促进学生对知识的记忆和理解.

(2)重视数学活动经验的积累和数学思想方法的渗透

按照《义务教育数学课程标准(2012年版)》的要求，要重视“四基”，安徽卷第14题很好地体现了这种要求.2012年、2013年、2015、2016年第14题对学生的思维水平要求较高，仅仅通过“题海战术”是无法达到考查要求的.试题对转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程思想、建立模型思想均有不同程度的考查.因此，在教学中千万不能将解决问题作为教学的结束，而应努力把数学思想方法的渗透与数学活动经验的积累贯穿教学全过程，使学生在学习中提高能力.

(3) 培养学生的演绎推理与合情推理的能力

新课标中提出 “学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力.”因此，在数学学习中，既要强调思维的严密性，结果的正确性，也要重视思维的直觉探索性和发现性，即应重视数学合情推理能力的培养.纵观近几年的第14题，四个结论中有的可以利用直觉思维、图形反例进行判断，有的要通过严格推理进行判断，平时教学中要同等重视演绎推理与合情推理能力的培养.

(4) 教师重视自身解题能力的提高

一位深受学生欢迎的数学教师，首先必须是一位解题能手，最好能成为一位解题专家.若一位教师，面对学生提出的问题，总是不能现场解答，而是过后才能给学生讲解，那么时间一长就会在学生中威信扫地，教师没了权威，教学效果可想而知.解题水平高的教师，面对学生提出的问题总是信心十足，敢于现场给予解答，师生共同经历如何思考、如何修正错误思路、如何找到正确思路的探索过程，长此以往，不仅树立了教师的权威，更为重要的是学生学会了怎样解题.教师解题水平高的标志之一，就是面对一个复杂的问题，会分析问题，会优化问题解决的策略，往往能用一种简单的方法给予简捷的解答.所以，教师不仅会“通法”，而且要会“巧解”.

纵观历年安徽省中考数学第14题，可以预见未来几年仍会延续这种趋势，因为它注重考查学生对数学概念的理解、数学思想方法的掌握，而且其对数学思考的深度、探究与创新的水平及应用数学解决实际问题的能力有更高要求，从而发挥甄别与选拔功能.

《数学教育学报》介绍

《数学教育学报》是中国联合国教科文组织指导刊物，王梓坤院士任编委会主任，天津师范大学王光明教授任主编，全国90多家理事单位集资办刊，天津师范大学为主办单位，北京师大、华东师大、东北师大、南京师大、贵州师大、西南大学、扬州大学、浙江师大、首都师大、湖南师大、华南师大、广州大学、江苏师大、华中师大、陕西师大、云南师大、西北师大，佛山科学技术学院等18所高校为协办单位，是目前国内数学教育领域最高层次的学术性刊物．《学报》现为“全国中文核心期刊”、“中国科技核心期刊”、“CSSCI来源期刊”和“RCCSE中国核心学术期刊(A)”．被中国科技论文统计源期刊、中国学术期刊综合评价数据库、中国学术期刊(光盘版)、中国期刊网、中国数学文摘、中国数学文献数据库、美国《数学评论》(MR)、德国《数学文摘》(ZBI)、中国人民大学报刊复印资料等收录．

《学报》宗旨：服务于中小学数学教育改革及高等数学课程改革，倡导数学教育科学学术争鸣与评论，推动国内外数学教育学术交流，建构中国数学教育理论，反映国内外数学教育实践与改革的新成果，发挥对我国数学教育研究与实践的指导作用．

《学报》倾力将用得上的先进理论，可借鉴的国内外数学教育改革经验，带有启迪性的学术争鸣，中小学数学教改的丰硕成果，前瞻性的中小学及高等数学教育改革理念与实证性研究结论奉献给有志于数学教育事业的广大中小学、大学数学教师数学教育科研工作者．

《数学教育学报》为双月刊，104页，大16开，全年订价60元．

欢迎有志于数学教育科研及数学教改的广大中小学数学教师、高等院校从事数学教育教学、科研及理论工作者到当地邮局订阅．欢迎新老读者踊跃投稿．

邮局邮发代号：6-132

编辑部地址：天津市西青区宾水西道延长线393号天津师范大学129信箱 《数学教育学报》编辑部

邮政编码：300387

电 话：022-23766679

E-mail：sxjyxbbjb@vip.163.com

网 址：http://www.sxjyxb.com

2017-03-22)