错解，是真的吗

山东省单县第一中学 (邮编：274300)

错解，是真的吗

山东省单县第一中学卫小国(邮编：274300)

题目已知抛物线x2=4y，过直线x-y-4=0上任一点A(x0,y0)作抛物线的切线，切点分别为M、N;证明：直线MN过定点.

该题为省名校调研测试压轴题其中一问，背景知识为阿基米德三角形；有考生解答如下，联合阅评为零分，且多位教师合议也赞同.笔者意见正好相反，认为应赞赏该生的思维灵活；现简录与解读如下，权作抛砖引玉.

解设切点为(x,y)，易知有

故MN过定点(2,4).

解读解答设切点的意图，是利用导数的几何意义；建立关于切点横、纵坐标的等式，即所在的曲线方程.结合切点在曲线上，化简得关于x、y的二元一次方程，即是所有满足条件的切点所在的曲线；根据变形后的直线方程，易得动直线过定点.

提供的参考答案，如下：

设y=kx+b,M(xM,yM),N(xN,yN)，与抛物线联立可得x2-4kx-4b=0.

可得2k+b-4=0⟹y=kx-2k+4=k(x-2)+4.

笔者以为对比参考答案，该生的解答简洁而精巧；理由如下：

1 思路切入新

参考答案是从直线过定点的一般处理方法，即建立直线方程中斜率与截距间的明确的等式关系；媒介是韦达定理与切线的交点在直线x-y-4=0上.而该生提供的解法是直接从切点入手，直接获取满足的方程；给人一种“直捣黄龙”的新颖感.

2 运算处理巧

3 思维水平高

学生的解答，从曲线方程的概念入手，用化归的数学思想；将特殊问题一般化，从更高的思维层面上解题.解答者是从表面不同的现象中，找到本质的东西，学会透过问题的表象看清问题的本质；达到既见树木又见森林的高度，能注重用普遍联系的观点看问题，展示发展思维的深刻性.

2017-04-11)