数列型不等式的证明探究

葛泽武　陈佳敏

【摘要】 近幾年，全国不少省份每年高考数学都将函数、导数与不等式综合问题作为高考压轴题来考查.这类问题，因其思维跨度大、构造性强，解决起来非常困难，每年能够解决这些问题的学生少之又少。随着2016年，各省份高考数学又回归全国卷以来，导数与不等式综合问题作为压轴题的地位并未改变。新课标数学教材人教A版选修2-2中导数章节将定积分重新引入高中数学教学。本文主要利用定积分的几何意义，解决了一些省份近几年高考压轴题数列型不等式的证明，从而为解决这一类高考压轴题具有很好的引申价值和指导意义。

【关键词】 定积分 曲边梯形 凸函数 过剩矩形 不足矩形

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）05-069-01

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1.定义

凸函数：设f（x）在[a，b]上连续，若对[a，b]中任意两点x1，x2，恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，则称f（x）在[a，b]上是向上凸的，简称上凸函数。由图易知凸函数上任意两点连线在函数图象的上方。

过剩矩形和不足矩形：如右图矩形BCEF称为曲边梯形ABCE的不足矩形，矩形ABCD称为曲边梯形ABCE的过剩矩形。

定积分的几何意义：若f（x）≥0，x∈[a，b]，∫baf（x）dx的几何意义是曲线y=f（x），x=a，x=b，y=0围成的曲边梯形的面积

2.问题研究

问题1.已知函数f（x）=ax-blnx图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=112x+112-ln2.

（1）求a，b的值；

（2）证明：f（x）≥0对一切x∈（0，+∞）成立；

（3）证明不等式：1+112+113+…+11n>ln（1+n）（n∈N+）

解：（1）（2）略

（3）构造函数g（x）=11x则∫n + 11g（x）dx = ∫n + 1111xdxlnxn + 11 = ln（n + 1）-ln1 = ln（n + 1）表示如图所示n个曲边梯形的面积之和，而1+112+113+…+11n表示如图所示n个小矩形的面积之和，由图易知曲边梯形的面积小于n个小矩形的面积之和，即1+112+113+…+11n>ln（1+n）（n∈N+）.

例2.（2010湖北）已知函数f（x）=ax+b1x+c（a>0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1.

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）>lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；

（3）证明：1+112+113+…+11n>ln（1+n）+n12（n+1）（n∈N+）

证明：（1）（2）略

（3） 定积分∫n + 1111xdx = lnxn + 11 = ln（n + 1）-ln1 = ln（n + 1）表示如图所示曲边梯形的面积，而1+112+113+…+11n-n12（n+1）表示如图所示n个小直角梯形的面积之和，由图及凸函数的性质易知曲边梯形的面积小于n个小矩形的面积之和，即

1+112+113+…+11n>ln（1+n）+n12（n+1）（n∈N+）.

例3.（2012天津）已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；

（3）证明： ∑n1i=1212i-1-ln（2n+1）<2（n∈N+）.

证明：（1）（2）略

（3） 定积分∫n + 11112x-1dx = ln（2x-1）n + 11 = ln（2n + 1）-ln1 = ln（2n + 1）表示如图所示曲边梯形的面积，而∑n1i=1212i-1-2=∑n1i=2212i-1表示

如图所示n-1个小直角梯形的面积之和，由图及凸函数的性质易知曲边梯形的面积大于n-1个小矩形的面积之和，即

∑n1i=1212i-1-2

例4.（2013大纲卷）已知函数fx=ln1+x-x1+λx11+x.

（1）若x≥0时，fx≤0，求λ的最小值；

（2）设数列an的通项an=1+112+113+···+11n，证明：a2n-an+114n>ln2.

证明：（1）略

（2）定积分∫2nn11xdx = lnx2nn = ln2n-lnn = ln2表示如图所示曲边梯形的面积，而a2n-an+114n=11n+1+11n+2+…+112n+114n=112（11n+11n+1+…+112n-1）+112（11n+1+11n+2+…+112n）表示如图所示n个过剩矩形的面积之和的一半和n个不足矩形的面积之和的一半，即是如图的n个小直角梯形的面积之和，由图及凸函数的性质易知曲边梯形的面积大于n个小直角梯形的面积之和，即a2n-an+114n>ln2.

3.总结

数列型不等式的证明，需要较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面的考查学生的潜能与后继的学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命制的极好素材。本文采用定积分的几何意义来解决这类问题，直观性强，效果极好。这为高中生解决这类问题提供了一种行之有效的办法。