考虑法向载荷变化的微滑摩擦系统振动分析

徐 超， 李东武， 陈学前， 王 东

(1.西北工业大学 航天学院，西安 710072; 2.中国工程物理研究院 总体工程研究所，四川 绵阳 621000)

考虑法向载荷变化的微滑摩擦系统振动分析

徐 超1， 李东武1， 陈学前2， 王 东2

(1.西北工业大学 航天学院，西安 710072; 2.中国工程物理研究院 总体工程研究所，四川 绵阳 621000)

工程结构中，常采用干摩擦阻尼器来降低系统的动力响应幅值。振动环境中，连接界面间存在着复杂的接触和摩擦行为，这些行为具有跨尺度、迟滞非线性和切法向耦合等特点。建立了一种能同时考虑法向载荷变化和切向微滑摩擦行为的接触力学模型，推导了模型恢复力和相对位移间关系的表达式，利用不同模型间的比较验证了模型的有效性。将该模型应用于简化的摩擦阻尼器系统，求解了简谐激励下系统的迟滞回线、单位周期的能量耗散和频率响应曲线，并对不同模型的特性进行了比较分析。结果表明：是否考虑法向载荷变化对系统动力学响应预测有很大影响；考虑法向载荷变化的微滑摩擦模型能够更加完善、准确地模拟接触界面间的力学行为。

摩擦阻尼;接触;微滑;非线性;法向载荷变化

航空航天工程中广泛存在着各种连接结构。振动环境下，连接界面受到外载荷作用，在法向可能出现预紧力振荡、分离和碰撞，在切向可能发生黏着、摩擦和滑动等行为。这些行为往往具有非线性、跨尺度等特点，导致装配结构出现复杂的非线性动力学响应[1]。因此，建模连接界面的非线性力学行为和研究连接结构非线性动力学响应是国内外结构动力学领域长期关注的重点和热点[2]。

连接界面的摩擦行为对组装结构的刚度和阻尼特性有重要影响。一般认为，在法向紧固载荷作用下，连接界面主要通过摩擦传递切向载荷。当切向载荷的幅值较小时，接触界面上大部分区域处于黏着状态，只有接触区域边缘的地方发生微观滑移；随着切向载荷幅值的增大，滑移区不断增大，最终连接界面发生整体的宏观滑动[3]。早期，一般采用不考虑微观滑移的库伦摩擦模型来建模连接界面的摩擦行为，但由于没有考虑界面微观黏滑行为的影响，计算的连接刚度和界面阻尼特性误差较大[4]。

为了模拟界面微观滑移行为， Menq等[5]提出了用一维杆和剪切材料层模拟界面黏滑行为，其假设接触面上的法向压紧力在空间为二次函数分布，但在滑移过程中，法向载荷幅值不发生变化。Csaba等[6]进一步简化了Menq模型，同时为了便于在频域中计算系统的幅频响应，采用等效黏性阻尼的思想，用等效椭圆代替阻尼器的迟滞回线，得到系统的等效阻尼和等效刚度。国内，徐自立等[7-8]学者将Csaba模型应用于航空发动机叶片-叶盘系统的振动分析中，解决了考虑界面微观滑移的振动系统分析问题。

另一类考虑界面微观黏滑行为的建模方法，借鉴材料弹塑性迟滞行为建模思想，采用有限个或无限个弹簧滑块单元(Jenkins单元)串联或并联的方式模拟界面摩擦行为。由于每个弹簧滑块单元的临界滑移力值不同或服从某种概论分布规律，该模型能够复现界面在切向载荷作用下的跨尺度黏滑摩擦行为[9-10]。同样地，该模型在建模过程中通常也假设法向接触载荷为常数，不随时间变化而变化。

在振动环境下，连接界面的法向载荷一般也是随时间变化的，而临界摩擦力的大小与法向载荷的大小直接相关。如果在动力学分析中，不考虑法向载荷的变化及其与切向载荷的动态耦合，将不能完整的模拟界面接触摩擦行为，导致结构动态响应预测结果误差较大。Yang等[11]在连接界面切向采用仅考虑宏观滑动的摩擦模型，在法向添加一个线性弹簧模拟法向载荷的变化，推导了切法向耦合的恢复力表达式。该模型与其他不考虑法向载荷变化的模型的区别在于其导出的滞回曲线是非对称的。最近，Gola等[12]采用类似的建模思想，切向采用不考虑微观滑移的摩擦模型，法向用线性弹簧模拟法向载荷的变化，建立了模拟发动机叶片阻尼器运动的七自由度模型，并和实验结果对比了验证了模型的有效性。需要指出的是，这些工作都仅考虑连接界面的宏观滑动摩擦行为。

综上，已有的大多数接触模型要么只考虑了切向的微观黏滑摩擦行为，认为法向载荷的时空分布为常值；要么考虑了法向载荷的动态变化，但没有考虑切向的微观黏滑摩擦行为。本文针对这一不足，采用有限多个不同临界滑移力的弹簧滑块单元建模切向微观黏滑摩擦行为，借鉴Yang模型的思想，在法向用线性弹簧模拟法向载荷的变化，建立了界面法向和切向恢复力变化的动态耦合关系，提出了一种新的考虑法向载荷变化的微滑摩擦模型，采用数值方法研究了简化单自由度摩擦系统的振动行为。

1 考虑法向载荷变化的微滑模型

1.1 切向摩擦模型

单个Jenkins单元是由一个线性弹簧和一个阻尼滑块串联而成，阻尼滑块与接触面间的切向作用服从简单库伦摩擦定律。图1(a)为Jenkins单元示意图。当弹簧受力小于阻尼滑块的临界滑移力时，Jenkins单元处于黏滞状态；相反，则处于滑移状态，其恢复力与位移的关系表达式为

(1)

图1(b)中给出了Jenkins单元的恢复力-位移滞回曲线。

(a) Jenkins单元

(b) 滞回曲线

为了模拟界面的跨尺度滑移行为，可以采用有限个Jenkins弹簧滑块单元并联的方式建模切向恢复力-相对位移关系。图2(a)为n个弹簧滑块单元并联组成的摩擦模型示意图。假设模型的切向总刚度为kt，并且每个Jenkins单元中的弹簧刚度都相同，即为kt/n。模型上作用的法向载荷为N，摩擦因数为μ，则所有滑块都发生滑移(即整体滑动)时的临界力为μN。为了模拟连接界面的跨尺度滑动，这里假设每个滑块上的临界滑移力不同，并且当n→∞，临界滑移力满足均匀随机分布。那么，每个Jenkins单元中的阻尼滑块临界滑移力为

(2)

因此，第i个Jenkins单元中切向恢复力与切向位移的关系为

(3)

图2(b)中给出了并联有限个弹簧滑块单元摩擦模型的恢复力-位移滞回曲线示意图。对比图1(b)可以发现，由于每个滑块的临界滑移力不同，在切向载荷下，临界滑移力最小的滑块首先发生滑动，随着载荷增大，滑块依次滑动演化到最终所有滑块都发生滑移的宏观滑动状态。因此，该模型预测的从黏着到宏观滑动的过程为曲线，更好地反映了界面的跨尺度摩擦行为。

1.2 法向接触模型

借鉴Yang模型的法向接触建模方法，在接触面法向采用一个线性弹簧模拟法向正压力的变化。法向弹簧刚度为kn，法向相对位移为Δg。法向力与法向位移的关系表述为

(a) 微滑摩擦模型

(b) 滞回曲线

(4)

综合切向微滑摩擦模型和Yang法向接触，建立如图3所示的考虑法向载荷变化的微滑摩擦模型。

图3 考虑法向载荷变化的微滑摩擦模型

Fig.3 Micro-slip frictional model considering variable normal load

1.3 恢复力和动态耦合关系

法向力的改变导致Jenkins单元中阻尼滑块临界滑移力发生变化，从而造成模型滞回曲线滑移段的恢复力不再为一常值，在恢复力计算中必须要考虑切向和法向的动态耦合关系。

由于含不同数目Jenkins单元的接触模型的恢复力表达式推导过程比较类似，因此本文仅以并联2个Jenkins单元的模型为例，从弹簧和阻尼滑块的性质出发，推导考虑法向载荷变化的微滑摩擦模型恢复力的数学表达式。

对Jenkins单元进行编号，分别记作①、②(文中各变量的第一个数字下标表示该编号，第二个数字下标表示迭代时刻的先后顺序)，其临界滑移力分别为fy1、fy2，弹簧刚度都为kt/2。令切法向相对位移分别为tr=t1-t2，gr=g1-g2，根据模型的性质得到恢复力骨干函数为

(5)

下面推导模型在不同运动状态下的恢复力表达式。考虑切法向力的初始表达式为

N=max(kngr+N0,0)

Ti=kt(tr-si0)

(6)

式中，N0为法向预加载荷。式(6)的第一个式子表示法向接触载荷要么为0，表示分离；要么为正值，表示发生接触。式(6)的第2个式中si0(i=1,2)表示阻尼滑块的滑动位移。

在每一个时间步上，通过切、法向载荷的初始值来判断模型的运动状态，并对切向力的表达式进行更新。系统运动可能的运动状态包括：

(1) 整体黏滞状态，状态判据为,N≥0且-fy1≤T1≤fy1，此时切向恢复力为

Ti=kt(tr-si0)/2

si1=si0

(7)

这种运动状态下，恢复力完全由弹簧的变形决定，且每个Jenkins单元上的恢复力相等，两个阻尼滑块都不滑动。

(2) 正向黏-滑状态，状态判据为,N≥0且T1>fy1且T2≤fy2，此时切向恢复力为

T1=fy1,T2=kt(tr-s20)/2

s11=tr-2fy1/kt,s21=s20

(8)

这种运动状态下，随着切向力的逐渐增大，临界滑移力相对较小的阻尼滑块①由静摩擦状态变为滑动摩擦状态并开始滑移，而阻尼滑块②的受力未达到其临界滑移力，因此保持其之前的黏滞状态。

(3) 正向整体滑动状态，状态判据为,N≥0且T1>fy1且T2>fy2，此时切向恢复力为

Ti=fyi

si1=tr-2fyi/kt

(9)

随着切向力的继续增大，阻尼滑块②开始滑动，此时模型中的所有滑块都发生了正向滑移。

(4) 负向黏-滑状态，状态判据为,N≥0且T1<-fy1且T2≥-fy2，此时切向恢复力为

T1=-fy1,T2=kt(tr-s20)/2

s11=tr+2fy1/kt,s21=s20

(10)

(5) 负向整体滑动状态，状态判据为,N≥0且T1<-fy1且T2<-fy2，此时切向恢复力为

Ti=-fyi

si1=tr+2fyi/kt

(11)

这两种负向运动状态与各自正向运动状态相对应。

(6) 法向分离状态,状态判据为,N<0

Ti=0

(12)

这种状态下，法向接触界面间发生了分离，使得模型的切法向受力都为0。

2 恢复力-位移迟滞特性

下面应用上述推导出的恢复力计算方法给出准静态情况下考虑法向载荷变化的微滑摩擦模型预测的切向恢复力-相对位移关系，并将其与文献[9]中考虑法向载荷变化的宏观模型预测的结果对比。需要指出的是，文献[9]的模型可以看作是本文的特例，即退化为只有一个Jenkins单元的情况。

这里计算参数为：切向弹簧总刚度kt=1 N/m，法向弹簧刚度kn=1 N/m，接触面滑动摩擦因数μ=0.3，给定切向位移t=10sin(3t)，法向位移包括两种情况，与切向位移同相位h=5sin(3t)，与切向位移异相位h=5cos(3t)，法向预载荷N0=15 N。

图4、图5中分别给出了同相和异相情况下，文献[9]的模型与本文的含2个和3个Jenkins单元的模型的计算结果，同时给出了不考虑法向载荷变化的宏观模型预测结果。

图4 同相时不同模型的滞回曲线

图5 异相时不同模型的滞回曲线

从图4、图5的结果比较可以看出，微滑模型与宏滑模型的主要差异在于模型运动状态从黏滞到滑移的过渡区域。在此区域内，随着切向力的增加，宏滑模型直接由黏滞状态转为滑移状态，而微滑模型则先由黏滞状态转为黏滞与滑移共存的微滑状态，进而再转为完全滑动状态。因此，本文微滑模型预测的单位周期能量耗散(滞回曲线所围图形的面积)要小于文献[9]的宏滑模型。

考虑法向载荷变化与否对切向摩擦行为的预测有重要影响。不考虑法向载荷变化时，给出的迟滞回线是对称的；当法向载荷变化时，计算的发生宏观滑动的转折点、宏观滑动行为都有很大的差别，特别是当发生宏观滑动后，滑动的恢复力μN(t)是时变的。

3 微滑摩擦系统振动分析

Oldfield等[14]通过有限元计算结果与微滑模型仿真结果间的比较验证显示：考虑到计算量与精度的影响，由4个Jenkins单元构成的微滑模型即能较好地复现界面的切向跨尺度摩擦行为。因此，本文选择分别含2个、3个、4个Jenkins单元的微滑模型与宏滑模型的比较来验证模型有效性。

考虑如图6所示的简化的摩擦阻尼系统，其可以认为是简化的航空发动机叶片根部摩擦阻尼器模型。图6中接触模型即为本文的考虑法向载荷的微滑摩擦模型。系统参数为：质量块m=10 kg，刚度k=3.9×105N/m;阻尼系数c=62.8 N·s/m；切向刚度kt=3×105N/m;法向刚度为kn=3×105N/m;接触面滑动摩擦系数为μ=0.5。

图6 含接触模型的单自由度系统

利用牛顿第二运动定律，可写出上述单自由度系统的切向动力学方程为

图 12：ht t p://img.mp.itc.cn/upl oad/20170701/9163525ddcac 45349232f 91671978e27_t h.j pg

(13)

分别研究简谐激励下不考虑法向载荷变化和考虑法向载荷情况下系统的稳态动力学行为。

3.1 不考虑法向载荷变化的系统振动分析

取法向恒定正压力为40 N，切向激励为f(t)=60sin(2π·50t)，采用数值方法求解系统动力学方程，对其稳态响应进行分析，结果如图7所示。

比较图7中四种模型的滞回曲线及恢复力的时域分布，可以看出在周期性简谐激励作用下，微滑摩擦模型模拟出黏滞与滑移共存的过渡状态，整体切向刚度发生明显的变化。在一个加载循环过程中，临界滑移力较小的单元最先滑移，而临界滑移力较大的单元则保持原来的黏滞状态。模型中Jenkins单元数目越多，滞回曲线中的微滑区域越大，过渡段曲线越光滑。

图7 滞回曲线

表1给出了利用迟滞回线计算的不同模型单位周期能量耗散值。结果表明：考虑界面微观黏滑与否对系统阻尼性能的预测有重要影响；宏滑模型的能量耗散大于微滑模型；随着Jenkins单元数目的增加，模型的能量耗散逐渐降低，且模型间的差异越来越小。

表1 不同模型能量耗散的比较

3.2 考虑法向载荷变化的系统振动分析

取法向载荷为N(t)=40+30sin(2π·42t)，切向激励分别为：同相位f(t)=60sin(2π·42t)，异相位f(t)=60cos(2π·42t)，采用与上一节相同的分析方法对考虑法向载荷变化的模型进行分析，结果如下图8和图9所示。

图8 同相时的滞回曲线

法向载荷的变化导致切向模型中各个Jenkins单元的临界滑移力发生变化，从而使得滞回曲线的形状由原来的对称变为非对称，这种非对称表现为模型在加载段和卸载段中处于不同运动状态区域大小的差异。

采用含有4个Jenkins单元的四种接触模型，进一步计算摩擦系统的频率响应曲线。图10、图11是典型激励幅值下，激励频率在[25，50]区间内振动系统响应的幅频曲线。图10为同相条件下的结果。图11为异相条件下的结果。当激励幅值变化时，图中各模型都表现出典型的非线性特征：随着激励幅值的增大，系统刚度出现明显的软化，其固有频率从高频向低频渐变，且其响应峰值先逐渐降低后又增大。

图9 异相时的滞回曲线

(a)

(b)

(c)

(d)

图10 同相时不同激励幅值下的频响曲线(模型1,2为不考虑法向载荷变化的宏滑模型和微滑模型；模型3,4为考虑法向载荷变化的宏滑模型和微滑模型)

Fig.10 Frequency response curves of different excitation amplitudes in phase (macro-slip model 1 and micro-slip model 2 with constant normal load, macro-slip model 3 and micro-slip model 4 considering variable normal load)

当|F|=0.1 N，小于滑块上最小的临界滑移力0.5 N，各滑块均处于黏滞状态，系统为近似线性系统，其固有频率约为41.8 Hz，各模型预测结果几乎没有差异。由于没有滑块运动，系统的阻尼性能差，动响应幅值很高。

当|F|=1 N时，系统中处于微观黏滑状态，即有的滑块黏滞，有的滑块运动。对比考虑微观滑移和仅考虑宏观滑动的两类模型结构可以看出，其预测的幅值差异明显。当模型仅考虑宏观滑动时，由于切向载荷小于临界滑移力，模型仍将系统预测为线性系统；当模型考虑微观滑移时，由于有部分滑块运动贡献的阻尼，系统的动响应幅值显著降低，频响曲线出现非线性特征。

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig.11 Frequency response curves of different excitation amplitudes out of phase (models are the same with figure 10)

当|F|=10 N，系统的非线性程度明显增加，频响曲线出现明显的软化非线性特点，滑块贡献的能量耗散更大，共振峰响应进一步降低。同相激励时，考虑法向载荷变化的模型，其固有频率略高于不考虑法向载荷变化的模型，响应峰值略小于不考虑法向载荷变化的模型；异相激励时，考虑法向载荷变化的模型的固有频率低于不考虑法向载荷变化的模型，响应峰值大于不考虑法向载荷变化的模型。造成这种差异的原因是法向载荷变化趋势的不同使得模型中各单元的运动状态存在差异，从而导致系统固有特性的差异。

当|F|=100 N，切向激励远大于滑块临界滑移力，系统以宏观滑动为主，可认为界面处于自由状态，此时系统为近似线性系统，其固有频率约为31.4 Hz，各模型预测结果几乎相同。

因此，在摩擦阻尼振动系统分析中，考虑微观滑移与否和考虑法向载荷变化与否对预测结果有很大的影响。

4 结 论

本文综合考虑了连接界面切向微宏观跨尺度摩擦黏滑行为和法向载荷变化的耦合作用，切向采用离散弹簧滑块并联模型，法向采用线性弹簧模型，构建了一种新的考虑法向载荷变化的微滑摩擦接触模型，并推导了模型恢复力与位移关系的计算表达式。以简化的摩擦阻尼器模型为对象，求解了系统在简谐激励下的动力学响应，并得到模型的滞回曲线、能量耗散以及系统的频响曲线。该模型的滞回曲线表现出微滑特性和非对称性；其能量耗散小于宏滑模型；频响曲线表现出典型的非线性特性。利用不同模型间的比较分析验证了考虑法向载荷变化的微滑摩擦模型的有效性，结果表明：考虑微观滑移与否和考虑法向载荷变化与否对预测结果有很大的影响；本文模型能够相比于宏滑模型和仅考虑黏滑摩擦的模型能够更加完善、准确地复现接触界面间的切法向耦合的力学行为。

这种降阶的接触模型具有广泛的应用前景。特别在航空发动机领域，可以采用接触模型来建立叶根阻尼器与叶盘间界面摩擦力的本构关系，进而用于叶片系统的动力学特性研究和叶片阻尼结构的优化设计。此外，还可将其与有限元方法结合起来，为复杂连接系统的精确力学建模和动响应预示提供参考。

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Vibration analysis for a micro-slip frictional system considering variable normal load

XU Chao1, LI Dongwu1, CHEN Xueqian2, WANG Dong2

(1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China;2. Institute of Systems Engineering, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621000, China)

Dry friction damper is widely used to reduce dynamic response amplitudes of engineering structures. There exist complex contact and friction behaviors in vibration environment, they have features of multi-scale, hysteretic, nonlinear and tangential-normal coupled. Here, a new interface contact mechanical model considering tangential micro-slip friction and variable normal load simultaneously was proposed. The relationship between tangential restoring force and relative displacement was derived. The correctness and effectiveness of the proposed model were verified through comparing it with other models published. Furthermore, the proposed model was applied in a simplified friction damper system. Under simple harmonic excitations, the hysteresis curve, energy-dissipation per period and frequency response curve of the system were calculated. The characteristics of different models were analyzed comparatively. The results showed that if considering normal load variation has an important influence on the system dynamic response prediction; the proposed micro-slip frictional model considering variable normal load can be used to simulate contact interface mechanical behaviors more correctly and perfectly.

frictional damping; contact; micro-slip; nonlinear; variable normal load

国家自然科学基金委和中国工程物理研究院联合基金(U1530139)

2016-01-21 修改稿收到日期：2016-05-25

徐超 男，博士，教授，1979年生

V231.92

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.019