水下环肋功能梯度材料圆柱壳稳定性研究

梁 斌， 陈金晓， 李 戎， 徐红玉

(1. 河南科技大学 土木工程学院, 河南 洛阳 471023； 2. 九州工业大学 机械系， 日本 北九州 804-8550)

水下环肋功能梯度材料圆柱壳稳定性研究

梁 斌1， 陈金晓1， 李 戎2， 徐红玉1

(1. 河南科技大学 土木工程学院, 河南 洛阳 471023； 2. 九州工业大学 机械系， 日本 北九州 804-8550)

研究了水下环肋功能梯度材料圆柱壳的稳定性。根据Flügge理论和正交各向异性板壳理论，采用波动法推导出静水压力下环肋FGM圆柱壳耦合振动特征方程，运用牛顿迭代法得到静水压力下环肋FGM圆柱壳的固有频率值，并通过线性拟合得到静水压力下环肋FGM圆柱壳的临界压力。通过计算对比分析，验证了方法的正确性和有效性。通过算例，分析了静水压力下环肋FGM圆柱壳在不同材料组分、体积分数、壳体尺寸、肋条尺寸和数目等情况下临界压力的变化规律。

静水压力； 环肋； 功能梯度材料； 圆柱壳； 线性拟合； 临界压力

环肋圆柱壳在静水压力下的应用越来越广泛，采用新型功能梯度材料的环肋圆柱壳的动力学行为分析是当前研究的主要方向之一。因此，研究环肋圆柱壳结构的稳定性对于圆柱壳结构在静水压力下的应用具有非常重要的意义。目前，关于功能梯度材料、环肋或水下圆柱壳的力学行为特性研究已取得一些研究成果。Loy等[1]在经典薄壳理论的基础上，利用Rayleigh法建立FGM(Functionally Graded Material)圆柱壳自由振动的特征方程，并根据特征方程求出FGM圆柱壳的固有频率，分析了边界条件、体积分数、材料组分等因素对FGM圆柱壳自由振动的影响。李戎等[2]利用波动法，研究了水下功能梯度材料圆柱壳的振动特性，并对圆柱壳固有频率的影响因素进行分析。Zhou[3]研究了充液环肋薄壁圆柱壳的振动特性，并对充液环肋圆柱壳的稳定性进行了分析。王小明等[4-5]研究了肋条间距和环肋圆柱壳的几何参数对环肋圆柱壳稳定性的影响。李天匀等[6]基于波动法研究了静水压力对圆柱壳耦合频率的影响。LIU等[7]运用Flügge方程和Helmholtz波动方程，把静水压力当做额外应力考虑到振动方程中，研究了静水压力对环肋圆柱壳输入功率流的影响。陈忱等[8]建立了一种关于求解水下圆柱壳临界载荷弹性理论解的新方法，并通过结果对比验证了该方法的准确性和有效性。梁斌等[9]分析了水下环肋圆柱壳耦合频率的影响因素。Zhu等[10]利用波动法研究了水下圆柱壳的弹性临界压力，并讨论了水下圆柱壳的固有频率与静水压力的关系。但是，关于综合考虑功能梯度材料、环肋形式和静水压力等组合因素下，环肋圆柱壳稳定性方面的研究还存在着大量的空白。

临界压力的大小能够直观反映出圆柱壳结构的稳定性。本文运用波动法建立FGM圆柱壳耦合系统的运动方程，利用牛顿迭代法求解方程得到固有频率，最后通过线性拟合方法获得水下环肋FGM圆柱壳的临界压力。通过计算分析了不同周向模态情况下，材料组分、体积分数、环肋形式等因素对水下环肋FGM圆柱壳稳定性的影响。

1 力学模型

假定水下环肋(内加肋)圆柱壳力学模型如图1所示，R为平均半径，L为圆柱壳长度，h为圆柱壳壁厚，hr为肋条截面高度，br为肋条截面宽度，d2为肋条间距，e2为环肋的偏心距，本文在圆柱壳的中面上建立正交坐标系(x,θ,z)，其中x，θ和z分别为圆柱壳的轴向、环向和径向坐标。

(b)

圆柱壳壳体和环肋均采用功能梯度材料，它的材料特性P受组成材料的体积分数影响，P的表达式是一个关于温度和体积分数的函数

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(1)

式中，系数P0、P-1、P1、P2和P3与温度T(K)的大小有关。假设圆柱壳沿厚度方向的弹性模量与材料组分的百分比有关，则其函数表达式为

(2)

E=E1V1+E2V2=(E2-E1)V2+E1

(3)

式中：V1和V2分别为圆柱壳内、外表面材料的体积百分比；p为幂率指数，其取值范围为0≤p≤∞。

当圆柱壳的组分材料为两种时，假定内、外表面材料参数分别为弹性模量E1,E2、质量密度ρ1,ρ2和泊松比υ1,υ2，环肋FGM圆柱壳的等效弹性模量E，泊松比υ，材料密度ρ表示如下

(4)

2 理论推导

根据Flügge理论和正交各向异性理论[11]，静水压力下环肋圆柱壳的运动方程式为

(5)

其中，内力与位移的关系表达式为

内力与位移关系表达式中参数表示为

用波动法表示的圆柱壳振动位移方程如下

(6)

式中：Um,Vm,Wm分别为x,θ,z方向的波幅；ω为固有角频率；km的大小与边界条件有关。

计算中需要考虑流体与圆柱壳结构的耦合效应，在流体中用柱坐标表示的声压场为

ψ=ψmcos(nθ)Jn(krr)eiωt-ikm

(7)

式中：Jn()为n阶Bessel函数；轴向波数km和径向波数kr满足的关系表达式为

(krR)2=Ω2(CL/CF)2-(kmR)2

(8)

-{1/(iωρf)}(∂ψ/∂r)|r=R=(∂w/∂t)|r=R

(9)

(10)

(11)

式中，FL为流体声场作用所产生的流体荷载项。

(12)

将式(12)代入式(11)中求解方程，可以得到

P1(ω)-P2(ω)FL=0

(13)

式中，P1(ω)和P2(ω)均为关于ω的多项式，式(13)是一个超越方程，运用牛顿迭代法求解水下环肋FGM圆柱壳的固有频率。

3 算例与讨论

表1计算了两端简支条件下功能梯度材料圆柱壳的固有频率，通过与已有文献[12]的计算结果进行对比，验证了本文关于功能梯度材料圆柱壳固有频率的计算方法的正确性和有效性。

表1 两端简支条件下FGM圆柱壳固有频率的对比分析

表2计算了两端简支条件下，水下环肋圆柱壳的固有频率及固有频率的平方，通过与陈忱等的计算结果进行对比，验证了本文关于水下环肋圆柱壳固有频率的研究方法的正确性和有效性。表中计算参数均采用参考文献[13]中的计算参数。

表2 两端简支条件下水下环肋圆柱壳固有频率的对比分析

Tab.2 Comparison of the results of calculation of the natural frequencies of submerged stiffened cylindrical for SS-SS

Q/MPa固有频率/Hzn=2n=3本文文献[13]本文文献[13]0180.64177.12219.63216.843174.27170.93204.51201.236167.91164.49187.49184.249160.75157.78167.43165.4712153.58150.75146.9144.2115146.42143.37120.96119.1418138.465135.5789.9287.02

根据表2中数据，图2给出了模态(1,2)和模态(1,3)条件下，环肋圆柱壳的固有频率的平方与静水压力的关系曲线，从图2中可以看出，固有频率的平方与静水压力近似成线性关系，这与文献[14-15]的结论一致。通过线性拟合得到水下环肋圆柱壳的临界压力为： 43.616 MPa(n=2)，21.581 MPa(n=3)。与陈忱等研究的结果吻合度较高。当n=2时，将表2中的计算参数代入式(14)中得到临界压力的理论值43.092 MPa，与本文的线性拟合结果43.616 MPa相对误差为1.207%，进一步验证了本文研究方法的正确性和有效性。

图2 不同静水压力下环肋圆柱壳的固有频率的平方变化曲线

Fig.2 The square of natural frequency of submerged cylindrical shell under different hydrostatic pressure

两端简支边界条件下，环肋圆柱壳在静水压力下的弹性屈曲临界压力公式[16]

(14)

式中：a1=πR/L为壳体的长度参数；J为肋骨截面与附连扳对其中性轴的惯性矩。

本文算例中，圆柱壳的功能梯度材料组分规定为:外表面不锈钢(金属材料)、内表面氧化锆(陶瓷材料)，文中所用到的组分材料参数见表2。通过算例分析了水下环肋FGM圆柱壳的临界压力在不同边界条件、材料组分、体积分数、壳体尺寸和环肋形式等条件下的变化规律，计算结果见图3～图10。本文壳体的计算参数为：L/R=20,R=1,hr=0.005 82 m,br=0.002 18 m,p=1,m=1，肋条数目Nr=19。

表3 材料参数表

图3～图7中取h/R=0.01。图3给出了不同材料组分下，水下环肋FGM圆柱壳的临界压力在不同周向模态下的变化规律。可以看出，在同一周向模态下，不同材料组分的环肋圆柱壳临界压力不同；四种材料组分下的临界压力均随着n值的增大而增大，且增大幅度比较均匀。

图4和图5中取n=2。图4给出了不同材料组分下，水下环肋FGM圆柱壳的临界压力随着幂率指数p的变化规律曲线。可以看出，随着p值增大，四种材料组分的临界压力最终都趋于平稳，p值较小时对临界压力影响比较大。计算结果表明，无论临界压力随着p值增大而增大或是减小，临界压力都介于纯金属圆柱壳结构和纯陶瓷圆柱壳结构的临界压力之间。

图3 不同材料组分下水下环肋FGM圆柱壳临界压力变化曲线

Fig.3 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with various material components

图4 不同幂率指数下水下环肋FGM圆柱壳临界压力变化曲线

Fig.4 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different volume fraction

图5给出了不同边界条件下，水下环肋FGM圆柱壳的临界压力在不同h/R下的变化规律。可以看出，四种边界条件下，临界压力均随着h/R的不断增大而增大；两端固支条件下，临界压力最大，一端固支、一端自由条件下，临界压力最小。

图5 不同h/R下水下环肋FGM圆柱壳临界压力变化曲线

Fig.5 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different thickness-radius ratio

图6给出了不同边界条件下，水下环肋FGM圆柱壳的临界压力在不同L/R下的变化规律。可以看出，临界压力随着L/R的不断增大而连续下降，当L/R=2～5时，临界压力随着L/R的增大而急剧下降；当L/R=5～10时，下降速度变慢；当L/R>10时，临界压力的下降速度越来越缓慢，当L/R增大到一定程度时，L/R对临界压力的影响可以忽略不计。

图6 不同L/R下水下环肋FGM圆柱壳临界压力变化曲线

Fig.6 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different length-radius ratio

图7和图8给出了两种圆柱壳厚径比下，水下FGM圆柱壳临界压力在不同环肋形式下的变化规律。可以看出，当h/R=0.01时，两种形式的圆柱壳的临界压力均随着n的增大而增大，n=2时，临界压力最小；环肋的存在对临界压力的影响并不明显，两种环肋形式的圆柱壳临界压力近似相等。当h/R=0.002时，两种形式的圆柱壳的临界压力均随着n的增大先减小后增大，n=3时，临界压力最小，环肋圆柱壳的临界压力明显大于不加肋圆柱壳的临界压力。这是由于，圆柱壳的厚度不同时,耦合频率对静水压力的变化的敏感度不同，而临界压力是根据耦合频率为0时的静水压力取值的，因此圆柱壳的厚度不同时，临界压力随着n值表现出不同的变化趋势。文献[17-18]中，随着n值的增大，失稳压力的变化也比较复杂，而本文此处的结论与文献[17-18]的结论有相似之处。

图7 不同环肋形式下水下FGM圆柱壳临界压力变化曲线(h/R=0.01)

Fig.7 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different stiffening form(h/R=0.01)

Fig.8 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different stiffening form (h/R=0.002)

根据以上结论，以下取h/R=0.002。图9给出了不同Nr下水下环肋FGM圆柱壳临界压力变化规律。可以看出，临界压力随着Nr的增大而增大；当n较小时，Nr对临界压力的影响较小；随着n值的增大，Nr对临界压力的影响越来越明显。n=3时，临界压力最小。

图9 不同Nr下水下环肋FGM圆柱壳临界压力变化曲线

Fig.9 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with different number of ring ribs

图10给出了不同hr/br下水下环肋FGM圆柱壳临界压力的变化规律。可以看出，随着hr/br的增大，临界压力不断增大，且增大幅度越来越明显。随着n的增大，临界压力先减小后增大，n=3时，临界压力最小。

图10 不同hr/br下水下环肋FGM圆柱壳临界压力变化曲线

Fig.10 The critical pressure of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell with differenthr/br

4 结 论

(1) 环肋圆柱壳中采用不同材料组分和不同体积分数，所形成的材料特性也不同。因此，不同材料组分和不同体积分数的环肋圆柱壳，所能承受的临界压力不同，但任何材料组分的FGM圆柱壳的临界压力值，都介于所选用的两种单一材料的圆柱壳临界压力值之间；随着n值的增大，不同材料组分下环肋圆柱壳的临界压力均变大。

(2) 环肋FGM圆柱壳的壳体尺寸对临界压力影响比较明显：当h/R≥0.002,L/R≥2时,临界压力随着h/R的增大、L/R的减小而增大，L/R对临界压力的影响主要表现在L/R较小的情况下。

(3) 边界条件对环肋FGM圆柱壳临界压力的影响显著：四种边界条件下，两端固支临界压力最大；一端固支一端自由临界压力最小。由此也可得出结论，边界条件的约束越强，圆柱壳所能承受的临界压力越大，即圆柱壳的稳定性越好。

(4) 环肋对圆柱壳临界压力的影响程度与圆柱壳的壳体厚径比有关：当h/R=0.002时，环肋圆柱壳的临界压力显著大于不加肋圆柱壳的临界压力；当h/R=0.01时，环肋对临界压力的影响较小，在一定程度上可以忽略不计。

(5) 圆柱壳的厚径比不同时，环肋FGM圆柱壳的临界压力随n值增大的变化规律亦不同：当h/R=0.002时，临界压力随着n值的增大先减小后增大，n=3时，临界压力最小；当h/R=0.01时，临界压力随着n值的增大而增大，n=2时，临界压力最小。

(6) 在h/R=0.002时，环肋尺寸和环肋数目对圆柱壳临界压力的影响比较明显：临界压力随着Nr和hr/br的增大而增大，且随着n值的增大，增大幅度均变大。

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Stability of a submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell

LIANG Bin1, CHEN Jinxiao1, LI Rong2, XU Hongyu1

(1. College of Civil Engineering, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471023, China; 2. Department of Mechanical Engineering, Kyushu Institute of Technology, Kitakyushu-city 804-8550, Japan)

The stability of a submerged ring-stiffened cylindrical shell made of functionally graded material (FGM) was studied here. According to Flügge theory and the orthotropic plate and shell theory, the coupled vibration characteristic equations of the submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell under hydrostatic pressure were derived with the wave method. The natural frequencies of the submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell under hydrostatic pressure were obtained with Newton iteration method. Finally, the critical pressure of the submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell under hydrostatic pressure was gained with the linear fitting method. Through the comparative analysis of computations, the correctness and effectiveness of the proposed method was validated. Through numerical examples, the effects of material component, volume fraction, shell size, and ring size and number on the critical pressure of the submerged ring-stiffened FGM cylindrical shell under hydrostatic pressure were analyzed.

hydrostatic pressure, ring-stiffened, functionally graded material, cylindrical shell, linear fitting, critical pressure

国家自然科学基金资助(51105132；11402077)； 河南省自然科学基金(122300410112)

2016-02-02 修改稿收到日期：2016-04-22

梁斌 男，博士，教授，博士生导师，1963年生

TB535+.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.012