丰盈经历 理解算理

杨武昌

培养学生的计算能力是小学数学教学的核心任务之一。计算能力强弱的重要标志是对计算过程的深刻理解。理解计算过程不光要知道怎样计算，更重要的是要明确为什么要这样计算，这实质上是一个算理问题。“两位数乘两位数（不进位）笔算乘法”这一内容安排在人教版三年级数学下册第四单元。这部分知识是在学生已经掌握了“乘数是一位数笔算乘法”及“用整十数乘”的基础上进行教学的，它是学生进一步学习乘数是三位数乘法的基础。“乘数是一位数笔算乘法”的算理和算法都将直接迁移到两位数乘两位数中来。因此，学生对算理和算法的理解和探索并不会感到困难。本节课除了让学生理解两位数乘两位数笔算乘法的算理、掌握其算法以外，还承担着计算与应用两个任务。那么，在本课教学中，如何使计算教学与数学应用和谐交融，有机结合呢？

一、情境创设，支撑理解

小学数学课程标准强调，计算应使学生经历从现实生活中抽象数和简单的数量关系，在具体的情境中理解，并应用所学的知识解决问题的过程，避免将运算与应用割裂开来。教学中，教师要根据学生认知发展水平和已有的知识经验，选择学生感兴趣的事物、活动，用蕴含数学信息的故事、游戏、图片，创设各种生动形象的、与教材内容有关的教学情境，拓宽学生数学学习的视野，以激发学生学习兴趣，引导他们积极主动地参与到学习中去。

如，“两位数乘两位数（不进位）笔算乘法”的教学伊始，充分利用课本资源，借助多媒体课件创设这样一个学生熟知的情境：妈妈带小红去书店买课外书，每本14元，一共买了12本。一共要付多少钱？从而引导学生得出14×12的数学算式。通过这样创设简单、有效的情境不仅让学生从具体的生活问题中自然引出数的计算，改变枯燥的呈现方式，而且丰富了学生的学习过程，从而使学生感受到数学在实际生活中的应用价值。然而，计算教学的情境不是随便乱用，只有创设相当合适的教学情境，才会起到相得益彰的作用。如果创设的教学情境与学生的生活实际太远，或者情境的数学价值不大，学生便有可能毫无目的地发散出去。

二、数形结合，促进理解

在小学数学教学中，教师要从形对于数的直观性、数对于形的深刻性这两方面，发挥数形结合的作用。由此，数形结合既是研究、探索数学的一种思想方法，又是帮助学生理解、解释数学的一种教学方式与教学手段。在“两位数乘两位数（不进位）笔算乘法”的教学中可以借助数形结合，降低学生学习难度，帮助学生更好理解知识，架起算理与算法之间的桥梁，使抽象思维和形象思维有效地结合起来，从而帮助学生深刻地理解算理。

如，在“两位数乘两位数（不进位）笔算乘法”的教学中可结合上述情境创设的基础上，充分利用“点子图”帮助学生理解笔算过程中每一步的意义，使算理和算法达到有机融合。

1.把上下分成三个部分，每个部分都是14×4，再把三个部分相加得168（如图1）。

2.把上下分成四个部分，每个部分都是14×3，再把四个部分相加得168（如图2）。

14×4×3=168 14×3×4=168

3.把左右分成三个部分，前两部分都是12×5，第三部分是12×4，再把它们相加得168（如图3）。

4.把上下分成两个部分，上部分是14×2，下部分是14×10，两个部分相加得168。（如下图4）。

12×5×2+12×4=168 14×2+14×10=168

当然，在交流14×12计算问题时，由于学生的认知建构和解决问题的视觉不同，常常会出现不同的算法，教师要尊重学生的个性化算法，鼓励学生对同一个计算问题进行不同的算法思考，通过交流，体验算法的多样化。教师要善于引导学生通过对不同计算方法和点子图的分析比较、归纳和分类，多中选优、择优而用，掌握解题的策略。与此同时，教师可提出如下问题：“你的方法与他的方法不同在哪里？”“你认为他的方法怎么样？”“谁的方法更好些？”“用他的方法去做一做，你有什么想法？”提倡在算法多样化的基础上关注算法的优化。上述教学中，通过运用点子图将学生的思考从直观的分一分、算一算，引导学生有意识的思考。这样既尊重算法的多样，呵护个性算法，又在尊重算法多样的前提下帮助学生完成对多样算法的优化，构建共性算法——“先分后合”，进而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。

三、理法通融，强化理解

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，学生应用知识形成技能，离不开自己的实践；学生只有在获得知识技能的活动过程中，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。”理解“两位数乘两位数（不进位）笔算乘法”是本课的重点和难点。众所周知，算理是运算正确的前提和依据。算理和算法是计算教学中不可分割的两个方面，算理解决“为什么这样算”的问题，算法是算理的具体化，解决“怎样算”的问题。因此，计算教学中，教师要着力引导学生运用已有的知识技能去体验，让他们在具体的思考和探究中理解算理、掌握算法，从而实现算理与算法的有机融合，促进计算能力的不断提高。

如，教学“两位数乘两位数（不进位）笔算乘法”例1时，首先，引导学生结合点子图，让学生自主探究“14×12”怎样算？学生出现多种方法：（1）先算4套要多少钱，再算12套要多少钱；（2）先算3套要多少钱，再算12套要多少钱；（3）先算10套和2套各多少錢，在合起来；（4）用竖式计算。交流时，重点引导学生对（3）的理解，让学生有意识地先说2套是14×2=28，再交流10套是14×10=140，最后合起来是28+140=168。接着引导学生交流用竖式计算，努力架设算理直观与算法抽象之间的桥梁，可先引导学生思考第一层算的是什么？表示什么？第二层呢？表示什么？接下来的呢？（逐步板书如下）

14

×12

28 ……14×2→282个14是28（2套的钱）

140 ……14×10→14040个14是140（10套的钱）

168 ……28+140→16812套的钱

然后，引导学生小结：刚才先算什么？第一个乘数与第二个乘数个位上的数相乘，算出了2套的钱。再算什么？与第二个乘数十位上的数相乘，算出了10套的钱，最后相加，算出12套的钱。

接着再让学生计算13×52，24×23。并引导学生观察，这些算式有什么共同的地方？通过观察比较，发现并规范竖式计算的简便写法。

最后，再引导学生交流：为什么新的算法第二个积的末尾要与十位对齐？为什么新的算法要把两次乘得的积分上下两层来写？

由此看出，教学中为学生架设了三座桥梁。第一，通过有意识交流第（3）种解法，为笔算算法的算理做好铺垫；第二，通过问题“算的是什么？表示什么”，引导学生把视角投向竖式计算的实际情境中，数形对应，使学生直观地理解算理，并在直观算理的支撑下，逐步抽象出算法。第三，安排学生尝试计算，并引导学生观察、比较“这些算式有什么共同的地方？”进而简化竖式。这样，学生充分体验了从算理到算法的演变过程，学生学得轻松、理解得更加深刻。

纵观这一内容的教学，对于学生而言，理解算理、建构算法往往是一个艰难的过程。因此，教师在引导学生理解算理和算法时，要注意沟通具体直观和抽象概括之间的联系；在引导学生感悟算理和算法时，要提供充分的时间和空间，让学生丰富体验、加深认识；在链接算理与算法时，要尊重学生的理解和选择，因势利导，有针对性地引导学生进行分析比较、反思交流等。只有这样，才能真正使学生达到算理、算法和技能的有机融合，学生也才能知算理、晓算法；以算理、释算法；依算理、用算法。从而提升学生的数学思维，同时为学生以后学习“两位数乘两位数（进位）笔算乘法”“三位数乘两位数笔算乘法”等提供有益的思维支持。

◇责任编辑：徐新亮◇

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