基于“三个理解”下的习题课教学

黄彩林

[摘 要] 当前相当部分的习题课教学现状为：学生学习过程单一、活动机械；留给学生“悟”的时间太短，甚至没有，直接进行题海轰炸. 殊不知教师的教应建立在学生的学的基础上，教学生怎样思考才是教师教学的首要任务.笔者在“三个理解”的指导下，通过分层递进地设计习题，利用溯源抓根本，开放设问适度拓展，有效地帮助学生更好地在课堂上举一反三、触类旁通，教学效果好.

[关键词] 适度拓展；分层递进；三个理解

众所周知，我们组织习题课教学，旨在强化重点知识，突出考点，强化能力. 在特定的单位时间内，完成课标规定的教学内容，选用合适的呈现方法及策略，但现实中要取得好的教学效果往往不尽人意. 人民教育出版社中学数学室编审章建跃博士指出：一节好课到底好在哪里？这样的好课是怎么成长起来的？它的基础在哪里？这是一个值得从教育学、心理学乃至社会学、哲学等各种角度去探讨的问题. 但从最基本的层面看，从“一堂数学课”的角度看，笔者认为还是在“三个理解”，即：理解数学、理解学生、理解教学.

基于以上认识，笔者通过精心设置习题链，分层递进，通过溯源抓根本，开放设问适度拓展来组织教学，学生反响不错. 下面以“根据数列的递推关系求数列的通项公式”为例加以说明.

教学实录

1. 从根本出发

（1）在数列{an}中，已知a1=2，an+1=an+5（n∈N*），则数列{an}的通项公式是__________.

（设计意图：通过此题，引导学生回顾等差数列的基本概念，揭示递推关系与通项公式的关系，学生稍加思索就能答出.）

生1：已知a1=2，an+1=an+5（n∈N*），易得a2=7，a3=12，a4=17，…，观察得出an=5n-3.

生2：an+1=an+5可化为an+1-an=5，由等差数列的定义可知数列{an}是公差为5的等差数列，故an=5n-3.

生3：an+1=an+5可化为an+1-an=5，写出a2-a1=5，a3-a2=5，…，an-an-1=5，将上述等式累加，得an=5n-3.

（以上3位学生的回答，反映了学生在不同的认知水平及解决问题的能力差异，呈现了学生对等差数列概念的理解程度.）

师：很好！这三个途径均能很好地解决这个问题，生2根据等差数列的定义直接算出结果，速度较快.这类通过数列的递推公式求数列通项公式在考试中较常见，本节课我们来共同探讨如何求数列的通项公式. 请同学们思考第（2）题.

（2）在数列{an}中，已知a1=2，an+1=5a1（n∈N*），则数列{an}的通項公式是__________.

（设计意图：类比（1），使学生通过类比思考，达到知识技能的正迁移.）

生4：an+1=5an可化为 =5，由等比数列定义可知数列{an}是首项a1=2，公比为5的等差数列，故an=2×5n-1.

教师巡视课堂发现大部分学生均采用这种方法.

师：不错，看来同学们已经学会了采用较为优化的方法解决本题，但老师有两个问题想问大家，一是等差数列、等比数列的通项公式是如何得到的？二是你能一眼看出递进关系得出其是否为等差数列或等比数列吗？

生5：我只知道记通项公式，至于其是怎么推导的，忘记了.

生6：递推关系应该有很多，具体化简得到什么样的结果还有待进一步探讨，具体还不是很了解.

师：那好，让我们再次回顾课本中等差、等比数列的由来，请同学们用心领会其蕴含的数学思想方法.

2. 回归课本，温故知新

（1）引导学生回顾课文（人教A版必修5课本第37页）

PPT展示：

等差数列通项公式的推导

如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：

a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，an-an-1=d，将上述n-1个式子累加可得等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d.

（2）引导学生回顾课文（必修5课本第50页）等比数列通项公式的推导

课本是通过探究，类比等差数列通项公式的推导得出其通项公式.

如果等比数列{an}的首项是a ，公比是q，则据其定义可得：

=q， =q， =q，…， =q，将上述n-1个式子累乘可得等比数列的通项公式：an=a1qn-1.

师：高考题源于教材，高于教材，请同学们要好好领悟课本中公式的来龙去脉及所蕴含的数学思想方法.

3. 拓展探究

师：根据前面所学，思考探究.

PPT展示：拓展探究：在数列数列{an}中，已知a1=2，an+1=（ ）an+（ ）（n∈N*），在（ ）中填入合适的内容，构成新的递推关系，并根据递推关系讨论求出数列通项公式的方案.

生7：a1=2，an+1=an+2015（n∈N*），显然我构造了一个首项为2，公差为2015的等差数列，an=a1+（n-1）d=2+（n-1）×2015=2015n-2013.

生8：a1=2，an+1=8an（n∈N*），我构造了一个首项为2，公比为8的等比数列，an=a1qn-1=2×8n-1.

师：同学们可以归纳下上述2位同学的做法吗？

生9：刚才两位同学所得的递推关系与（1）（2）差不多，待入的数值均为常数，通过转化，利用等差数列、等比数列的定义，进而求出通项公式.

师：很好，这些可归为一类简单问题，同学们还有其他想法吗？

生10：我的想法是将题目改为这样a1=2，an+1=an+n（n∈N*）.

师：不错，此时数列{an}还是等差数列吗？此类问题又应该怎样解，同学们讨论下.

生11：不是，因为an+1-an=n，其差值为一变量. 可仿照累加法推导等差数列通项公式得出通项. 具体为：a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3，…，an-an-1=n-1，将以上n-1个算式相加可得an= .

师：不错，同学们还可以将些问题更为一般化吗？

生12：教材中等差数列通项公式的推导均可归纳为an-an-1=f（n-1）型. 算法如下：若an-an-1=f（n-1）（n≥2），则a2-a1=f（1），a3-a2=f（2），a4-a3=f（3），…，an-an-1=f（n-1），将式子列出后，累加可得an-a1= f（i）.

展示同学们自编的三道题：

题目1：在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，有an=3an-1+2，求an.

生13：设an+λ=3（an-1+λ），an=3an-1+2λ，对比an=3an-1+2，得λ=1，所以an+1=3（an-1+1），所以数列{an+1}是首项为a1+1=2，公比为3的等比数列，an=2×3n-1-1. 再进一步思考，将题目中常数3和2换为变量，那不是更加一般啦.

师：不错，我们可以将之称为an+1=pan+q型. 对于此类问题，我们一般采用待定系数法，通过构造新的等比数列来解决. 类比题目1的解题过程展示如何用待定系数法构造新的等比数列的过程.

题目2：在数列数列{an}中，已知a1=1，an+1= an（n∈N*），求数列{an}的通项公式.

生14：由a1=1，an+1= an（n∈N*），有 = ，故

= ， = ， = ，…， = ，将以上n-1个算式相乘可得an=n.

师：不错，同学们还可以将以上问题更一般化吗？

生15：归纳为 =f（n-1）型. 算法如下：若 =f（n-1）（n≥2），则 =f（1）， =f（2）， =f（3），…， =f（n-1），将式子列出后，累乘可得 = f（i）.

题目3：在数列{an}中，已知a1=2，an+1=2an+2n+2（n∈N*），求数列{an}的通项公式.

生16：a1=2，an+1=2an+2n+2（n∈N*），有 = +2， - =2，故数列 是首项为1，公差为2的等差数列，得 =1+（n-1）×2=2n-1，an=（2n-1）×2n.

师：同学们通过主动探索得到不同形式的递推关系，通过等价化简构造相应的等差、等比数列，进而得出通项.

4. 真題呈现

探究1：数列{an}满足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），则数列 的通项公式为_________.

投影展示并点评：

由a1=1，an+1-an=n+1（n∈N*）得

an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n= ，则 = .

探究2：已知数列{an}的首项a1= ，an+1= ，n=1，2，…，求{an}的通项公式.

投影展示并点评：

因为an+1= ，所以 = + ，所以 -1= -1.

又 -1= ，所以 -1是以 为首项， 为公比的等比数列，

所以 -1= · = ，所以an= .

探究3：设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，an+1=Sn+3n（n∈N*），设bn=Sn-3n，求数列{bn}的通项公式.

投影展示并点评：

依题意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，

由此得Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）. 因此，所求通项公式为bn=Sn-3n=（a-3）2n-1（n∈N*）.

5. 回顾反思

师：本节即将结束，请你就根据数列的递推公式求数列通项谈谈你的收获？

引导学生构建知识网络，绘制思维导图.

教学思考

1. 课堂教学的预设要基于三个理解设计

“理解数学”上具有高水平，这是一堂好数学课的前提条件. 因此教师要善于挖掘数学知识蕴含的价值观资源，并能以与学生智力发展水平相适应的方式表达出来，以恰当的方式传达给学生，才能有效地实现数学课程的育人目标.

“理解学生”，核心是理解学生的数学认知规律和情感发展规律. 本节执教的班级为A类班级，学生具有一定的自主学习能力. 因此本节分层递进，引导学生一步一步地由等差、等比数列的通项公式引发一系列的思考，并及时地进行了归纳总结. 给充足的时间让学生独立自学、自主探究，促学生更好地感悟数学.

“理解教学”是对数学教学规律的认识和教学机智的敏锐水平. 理解数学、理解学生是把数学教好，发挥数学的育人功能的前提条件. 本节教学量体裁衣，将教学内容、师生互动、生生交流完满结合，促学生在对话交流中完成对本节数学知识的理解，很自然地实现教学目标的达成.

2. 课堂教学的流程要找到适合学生思维生长的源头

建构主义学习理论认为，学习过程是学习者建构自己的知识经验的过程，而建构在于学习者通过新旧经验的相互作用来发展自己的知识经验. 本节通过两道等差、等比数列的等价定义题作为引例再回归课本，使学生清晰理解等差、等比数列通项公式的来龙去脉，在此基础上引导学生自主增添变量，自主拓展归纳题型，并进行高考真题演练. 由此找到等差、等比数列通项公式这个源头，更好地帮助学生理解累加、累乘法在具体解决数列中的运用；引导学生从知识技能及数学思想层面进行系统归纳，进而提高学生解决类似数学问题的能力.