探析数形结合在初中函数中的巧妙应用

广东省珠海市文园中学(519000) 赵莹莹

探析数形结合在初中函数中的巧妙应用

广东省珠海市文园中学(519000) 赵莹莹

著名的数学家华罗庚说过:“数缺形时少直觉,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事非”.寥寥数语把“数形结合”说的淋漓尽致.“数形结合”是数学研究的一种重要的思想方法,是培养学生创新能力的优质素材.不难发现在历年各地中考中考中函数的题目均占有较大的比例,从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题,出题范围极广,难易程度差距较大,对于学生的数学知识的综和运用能力考查较多.

在我们的实际教学中会经常发现,学生往往不能全面而灵活的应用函数的不同表征方式,使得“数”与“形”转化通道阻塞,很难实现把抽象的数量关系转化为适当的函数图象,从图象的直观特征发现数量之间的联系,使得问题得以解决.为了帮助学生将复杂的问题简单化,以及摆脱题海战术的局面,引导学生注重“数与形”表征之间的转化,鼓励学生利用直观图形辅助解题,做到从“以形助数”和“以数解形”两个方面解决问题,基于此,本人主要通过对近年全国各地中考的实例探究数形结合在初中函数中的巧妙应用.

一、“以形助数”,借助形的直观性解决数学问题

例1 (2015,青岛)如图,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点,其中点A的横坐标为2,当y1＞y2时,x的取值范围是( )

图1

A.x＜-2或x＞2 B.x＜-2或0＜x＜2

C. -2＜x＜0或0＜x＜2 D.-2＜x＜0或x＞2

分析:根据已知条件可以知道点A,B是正比例函数和反比例函数的交点,因此这两点关于原点对称,点B的横坐标是-2,由函数图象易知,当-2＜x＜0或x＞2时,正比例函数图象比反比例函数图象高(上),即是y1＞y2,故选D;

本题巧妙的利用“数形结合”思想,把握函数图象越高(上),函数值越大这一规律,便可快捷而准确的解决问题.在教学中应该把函数“图象”与“解析式”结合起来,必须强调“数”与“形”的关系以利于更好的探究函数之间的规律性.

图2

例2 (2015,广西南宁)如图,已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c(a/=0)的对称轴是直线x=-1,下列结论中:①ab＞0,②a+b+c＞0,③当-2＜x＜0时,y＜0,正确的个数是( )

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

分析:本题主要考查二次函数图象与系数的关系.根据图象可知,对称轴为＜0,得到ab＞0;观察图象知;当x=1时y=a+b+c＞0,②正确;根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点,得到另一个交点为(-2,0),当-2＜x＜0时,图象在x轴的下方,即y＜0;故③正确;故选D.

本题中先“由形到数”,再“由数到形”,用运动变化的思想进行观察分析和化归,巧妙地运用图象特征观察图形的变化规律,解答十分的巧妙,充分体现“数形结合”的解题思想.

图3

(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求m的取值范围;

(2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,若△OAB的面积为6,求m的值.

分析: 本题主要考察反比例函数的图象和性质,(1)结合图形知,反比例函数的图象的一支位于第一象限,则另一支位于第三象限,由于该反比例函数位于第一、三象限,因此m-7＞ 0,即m ＞ 7.(2)依题意,令A(x,y),则B(x,-y),有“形”的关系:AC=BC,列出“数”的等式:S△AOB=2S△AOC,则 xy=6,即是因此m=13.

从本题中,需要注意在处理“数”的问题时,要有从“形”着手的意识,直观引发直觉促进数学解题思路的拓展与提升,从而定位解题方向,降低问题的难度.

二、以数助形,“数”与“形”和谐统一,使问题化繁为简

例4 ((2013广东))已知k1＜ 0＜ k2,则是函数y=k1x-1和y=的图象大致是( )

分析: 对于本题,很多学生无从下手,其实老师可以引导学生对k的取值范围进行分类考虑,当k1＜0时,一次函数经过二、三、四象限,当k2＞0时,反比例函数过一、三象限,从而得出正确答案A.

例5 (2012江苏扬州市)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;

分析: 本题为函数与平面几何的综合题,(1)要确定二次函数的解析式,需要构造关于待定系数a,b,c的方程组:将 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线 y=ax2+bx+c中,得:,解得:∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3.

图4

(2)“以数助形,以形判数”,由图知:A、B点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知:若连接BC,那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点.

如图所示,连接BC,直线BC与直线l的交点为P;设直线BC的解析式为y=kx+b,将B(3,0),C(0,3)代入上式,得:解得:∴直线BC的函数关系式y=-x+3;当x=1时,y=2,即P的坐标(1,2).

新课程改革倡导学生自主探究性学习,把“数形结合”落实到自主探究性学习中,能够有效的提高学生的解题能力,达到事半功倍的教学效果.事实上,函数在初中阶段的学习重点是对其图象和性质的理解与掌握,并要求学生熟练绘制函数的图象,学会观察、读取图象中隐含的信息,来研究函数性质及其应用,显而易见,函数图象的分析即“数形结合”便是为已知和结论“牵线搭桥”,从而使得分散的条件集中化,隐含条件明显化,难点分散简易化,实现优质解决问题的目的.