加速运动点电荷瞬时自身系中的势与场

杨焕雄

(中国科学技术大学近代物理系，安徽 合肥 230026)



加速运动点电荷瞬时自身系中的势与场

杨焕雄

(中国科学技术大学近代物理系，安徽 合肥 230026)

本文从点电荷在自身系中激发的惠特克(Whittaker)势出发，通过点电荷自身参考系与瞬时自身系之间的广义林德勒(Rindler)变换分析了点电荷做一般加速运动时其瞬时自身系中的电磁势与场强分布。使用四维张量在不同参考系变换的方法所求出的点电荷在瞬时自身系中的电场强度分布与前人通过定性分析得出的结果一致。本文的新意在于求出了点电荷瞬时自身系中的电磁势具有非零的空间分量，从而消除了流行教材在此问题上潜在的逻辑漏洞。本文的工作或许可以为使用洛伦兹变换推求运动点电荷在一般的惯性参考系中激发的电磁场分布的方法提供一个可靠的物理前提。

瞬时自身系;自身系;广义林德勒变换;惠特克势

经典电动力学的一个著名结论是：相对于惯性参考系的观测者而言，做加速运动的带电粒子会激发辐射电磁场。这一论断不仅提供了实验室里通过人工方式产生电磁波的物理基础，它在历史上也对原子的卢瑟福行星模型进化到玻尔模型，进而对于海森堡建立量子力学的矩阵力学表述起到过积极的推动作用。在惯性参考系中计算运动点电荷(可以不是作匀速直线运动)激发的电磁场强，常见的策略是首先求出相应的推迟电磁势、 即李纳-魏谢尔势[1-3]。推导李纳-魏谢尔电磁势的一种有趣的方法是构建运动点电荷的瞬时自身系。特别地，在国内流行的、由郭硕鸿等教授所著的电动力学教材中，点电荷激发的电磁势在瞬时自身系里被先验地假设为纯粹的库仑静电标势[1]。注意到电磁势形成四维闵可夫斯基空间中的矢量，且电磁势只与点电荷的运动速度有关[1,2]，可以通过洛伦兹变换求出此运动点电荷在实验室参考系中激发的李纳-魏谢尔势。再计算李纳-魏谢尔势对于时间参数及空间坐标的微商，就可求得带电粒子所激发的电磁场强。

把点电荷瞬时自身系中的电磁势假设为库仑静电标势貌似当然，其实在物理逻辑上是说不通的。我们知道：对于任一惯性参考系中的观测者而言，点电荷做加速运动时会激发辐射电磁场[1-3]。所以，点电荷激发的电磁场在其瞬时自身系中表现为库仑场与粒子加速度相关的辐射场的矢量叠加是经典电动力学理论无可辩驳的结论。倘若电磁势在瞬时自身系中仅仅具有非零的标势(例如文献[1]中假设的库仑势，或者李纳-魏谢尔势在粒子速度趋于零情形下的极限)，但矢势为零，则此点电荷激发的电磁场在瞬时自身系中只能表现为纯电场，不可能支撑非零的辐射电磁场能流密度。这一逻辑缺陷显然不能通过电磁势的规范变换得以挽救。

笔者在电动力学的教学过程中还曾遇到某些同学提问到另一个相关的、有趣的问题： 可否直接从瞬时自身系中点电荷的电磁场出发、 通过洛伦兹变换求得实验室参考系里电磁场的场强?电磁场强构成四维闵可夫斯基空间中的二阶反对称张量，其在不同惯性系中的分量自然应通过洛伦兹变换相联系。洛伦兹变换是张量分量间的线性关系，变换式本身只依赖于两个惯性系之间的相对速度。倘若假设点电荷激发的电磁场在其瞬时自身系中表现为纯粹的库仑静电场(这可能是一般人的直觉)，则通过洛伦兹变换求得的实验室参考系中的“电磁场”将仅仅依赖于点电荷相对于实验室系的速度。这个结果显然是荒谬的。众所周知，点电荷做加速运动时其激发的电磁场强是与加速度相关的。通过求李纳-魏谢尔推迟势的时空导数得到的电磁场强度中就含有点电荷的加速度。试图直接通过场强的洛伦兹变换求得实验室系中电磁场的思路在逻辑上并没有错，事实上确有按照这一思路成功地求出了加速带电粒子激发的辐射电磁场的先例[4,5]。问题的要害仍然在于：点电荷激发的电磁场在其瞬时自身系中并不表现为纯粹的库仑静电场[6,7]。

一个回避上述逻辑困难的策略是放弃瞬时自身系的概念，在确定做加速运动的点电荷所激发的电磁势和电磁场问题上拒绝使用洛伦兹变换。某些电动力学教材或者参考书的作者通过含时格林函数方法[2,3,8]，直接在实验室参考系中求出了李纳-魏谢尔推迟势，再进行若干矢量分析运算就求出了相应的场强分布。这一方案确无逻辑漏洞，但放弃了优美的参考系变换方法难免让人感到惋惜。本文试图在同一问题上重拾参考系变换的方法，需要面对的核心困难是如何合理地确定瞬时自身系中的电磁势和场强分布。点电荷做加速运动情形下，任一时刻与其保持相对静止的参考系实际上有两个，即自身系与瞬时自身系。瞬时自身系是惯性参考系，但自身系却不然。因为点电荷在自身系中自始至终处于静止状态，点电荷相对于惯性系做加速运动时其自身系无疑是非惯性参考系。本文拟在点电荷的自身系中求解麦克斯韦方程组，求出自身系中的电磁势和电磁场。然后通过自身系与瞬时自身系之间的参考系变换求得点电荷瞬时自身系中电磁势和场强分布，为进一步使用洛伦兹变换确定实验室参考系中的电磁势和电磁场奠定逻辑上可靠的出发点。

1 自身系与瞬时自身系

(1.1)

线元ds2是闵可夫斯基空间中的标量，

(1.2)

(1.3)

而

(1.4)

是联络系数。把式(1.1)代入到零曲率条件中，不难看到g00(x,t)的解在物理上是唯一的[8]：

(1.5)

式中参量g(t)是时间参数t的任意函数，其物理意义待定。把(1.5)代回到式(1.2)，四维闵可夫斯基空间中线元的不变性可以重新写为

(1.6)

(1.7)

(1.8)

加速参考系S中的坐标系相对于S系观测者而言仍是刚性坐标系[10]，V只依赖于时间参数t。由此知：ξ=ξ(t)。如图1所示，变换式(1.7)只能覆盖闵可夫斯基空间中的部分区域。进一步分析S系中具有确定坐标值x的质点的测地线方程，可以证明[9]：

(1.9)

图1 加速度a(τ)取常数值a时质点做匀加速直线运动，此时变换式(1.7)在闵可夫斯基空间中覆盖的区域位于图上两条虚线之间。双曲线是质点在瞬时自身系中的运动方程：(1+aX)2-(aT)2=1

(1.10)

以下约定V0=0。在g(t)=a为常数的情形下，微分形式的变换式(1.7)退化为全微分。积分之，可得

(1.11)

(1.12)

姑且称式(1.12)为广义林德勒变换。由此知闵可夫斯基空间中四维张量的坐标变换矩阵和逆矩阵分别为

(1.13)

与

(1.14)

(1.13)及(1.14)式中引入了新参量：ζ=a(τ)(t-t0)。闵可夫斯基空间中的线元可以在S系中重新表为

(1.15)

2 加速运动点电荷自身系中的电磁场

本节考虑做加速运动的点电荷在自身参考系中激发的电磁场。假设点电荷q在自身参考系S中的位置矢量为r0=(0,0,0)。协变形式的麦克斯韦方程组可写为

(2.1)

Fμ ν=gμ αgν βFα β，

(2.2)

(2.3)

所以，

(2.4)

结合式(2.2)、(2.4)与(2.1)，可知标势A0服从如下微分方程：

(2.5)

(2.6)

模仿惯性参考系中场强矢量E,B与电磁场张量Fμ ν的关系，我们在q自身系S里定义：

Ei=F0i,Bi=-εijkFjk

(2.7)

显然，E=-A0且B=0。代入惠特克势A0的具体形式(2.6)，不难求得：

(2.8)

不同于静止于惯性参考系中的点电荷所产生的静电库仑场，式(2.8)描写的电场强度分布没有球对称性，不遵守平方反比律且通过点电荷的加速度a(τ)依赖于时间。不过，鉴于坡印廷矢量S∝E×B=0，做加速运动的点电荷q在其自身系中并不激发电磁辐射。

3 瞬时自身系中的电磁势与场强

电磁势形成四维闵可夫斯基空间中的矢量，

(3.1)

电磁场的场强形成闵可夫斯基空间中的二阶反对称张量，

(3.4)

作为对于(3.5)～(3.10)诸式正确性的一种交叉检验，我们也可以直接使用场强与势之间的关系

(3.11)

比较知两种方法求得的场强分布完全一致。

(3.12)

利用这些辅助公式改写式(3.2)与式(3.3)，我们有：

(3.15)

(3.16)

(3.17)

这是q的自身系S完全不具备的性质。

4 结语

本文讨论了点电荷做加速运动时其瞬时自身系中的电磁势与场强分布。在点电荷做一般加速运动的情形下，我们分析了点电荷自身参考系与瞬时自身系之间的物理差异并讨论了它们之间的坐标变换(广义林德勒变换)。根据点电荷在自身系中激发的惠特克势，我们使用闵可夫斯基空间中张量的变换法则求出了当点电荷做一般加速运动时其瞬时自身系中的电磁势与场强分布。通过参考系变换方式求出的点电荷在瞬时自身系中的电场强度分布与前人通过定性分析得出的结果一致。本文的新意在于强调指出了点电荷瞬时自身系中的电磁势具有非零的空间分量，这个结论消除了流行教材在此问题上的可能存在的逻辑障碍，为进一步使用洛伦兹变换获得一般实验室参考系中的电磁势和电磁场分布提供了可靠的物理基础。此外，本文的工作或许可以看作文献[15]中古普塔(Gupta)等人所讨论的点电荷做匀加速直线运动情形下的同类工作向点电荷做一般加速运动情形的推广。

笔者感谢第16届全国电动力学研讨会上李志兵、王振林、曾定方、郑汉青、周磊和朱全界等教授给予的批评与建议，也感谢在中国科学技术大学2015—2016年电动力学教学过程中就相关问题与闵皓彦、董伊云和郝云超等同学的讨论。

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[2] Jackson J.D. Classical Electrodynamics[M]. Wiley, 1998.

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[15] Gupta A, Padmanabhan T. Radiation from a charged particle and radiation reaction reexamined[J]. Phys. Rev. D, 1998, 57: 7241.

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THE POTENTIALS AND FIELDS OF AN ACCELERATED CHARGE IN ITS INSTANTANEOUS REST FRAME

Yang Huanxiong

(Department of Modern Physics, University of Science and Technology of China, Hefei Anhui 230026)

Starting from the Whittaker potential of an accelerated point charge in its comoving frame, we discuss the calculations of electromagnetic potentials and field strengths of the charge in the inertial frame in which the charge keeps static instantaneously. Our strategy is to utilize a generalized Rindler transformation between the mentioned two frames, and our results on field strengths coincide with those derived from Green function methods or Lienard-Wiechert potential. What is new of the paper relies on the fact that we have found a nonvanishing spatial component of the potential 4-vector in the instantaneously comoving frame, that eliminates a possible bug of Lienard-Wiechert potential. Our work does probably supply a solid starting point for utilizing Lorentz transformations to calculate the potential and field strength of a charged particle in general inertial frames.

instantaneous rest frames; comoving frame; generalized Rindler transformation; Whittaker potential

2016-12-31

杨焕雄，男，副教授，主要从事电动力学教学工作，科研方向为超弦宇宙学。hyang@ustc.edu.cn

杨焕雄. 加速运动点电荷瞬时自身系中的势与场[J]. 物理与工程，2017，27(3)：84-90.