引力波背景下的电磁波

曾定方

(北京工业大学数理学院,北京 100124)



电动力学教学论文

引力波背景下的电磁波

曾定方

(北京工业大学数理学院,北京 100124)

本文首先介绍了激光干涉引力波探测实验原理教学的时空图方法，紧接着对引力波背景下一种具有简单然而非平庸时空轮廓的电磁场的波动方程进行了化简并求出了其解析解，最后利用所得解对激光干涉引力波探测实验中测地光子近似的有效性进行了定量的评估和分析。我们的结果对激光干涉引力波探测原理和弯曲时空中麦克斯韦方程组及电磁波理论的教学有积极的探讨价值。

激光干涉引力波探测;弯曲时空背景下的麦氏方程组;电磁波

1 引论

激光干涉引力波探测研究组(英文简称LIGO)对引力波事件GW20150914及后续事件观测结果[1,2]的公布是2016年最重要的科学事件，这一事件的意义在于，它是人类第一次通过实验直接证实引力波的存在，也是人类通过实验第一次观测到恒星质量黑洞的存在以及双黑洞的合并过程。由于引力波是爱因斯坦引力理论最早也最重要的理论预言之一，将这一事件称为Eistein引力理论100年来最重要的进展应该不会过分。

基于引力波探测可能为未来天文和宇宙学观测提供新渠道的动机，除了LIGO,当前国际上尚有3个引力波探测项目正在被改进执行当中，即英德联合的GEO600,意法联合的VIRGO,日本的KAGRA,而我们国内中山大学的“天琴计划”和中科院的“太极计划”也已进入筹划/实施准备。在2016年，引力波探测似乎一下子成了我们国家的大科学发展战略核心。

在交流中我们察觉，和我们自己刚刚接触这个问题时的状态相似，我们的很多同行，包括引力和相对论天体物理研究领域的同学和老师对激光干涉引力波探测仪的工作原理并不十分了解。譬如，一个最容易让大家疑惑的问题是：既然引力的本质就是时空弯曲，那么处在引力波波场中的探测仪两臂和在臂上传播的光波波长就应该同步伸缩，这意味着干涉仪任意单臂上光波的光程应该是个常数，两臂上光波的光程差怎么会随着引力波的振荡而变化呢？这是一个非常自然而且尖锐的问题，它触到了激光干涉引力波探测实验的基本原理。但在当前充斥于市面的大量引力波介绍文献中，我们没有看到对这一问题的准确回答。本文第2节将使用时空图示法为这一问题的教学给出一个直观而准确的回答。

本文希望回答的核心问题是，激光干涉引力波探测实验原理与数据分析中被当作常识接受的测地光子近似——即假设干涉仪两臂上的激光具有确定的波长、频率定义并沿引力波时空中的测底线运动而不是弯曲时空麦克斯韦方程组所要求的时空依赖波长、频率以及振幅变化——到底在多高精度上是合理的？这一问题从一开始[3]激光干涉引力波探测实验原理被提出时起就被假设是合理的，其准确性直到目前为止仍然没有被定量研究过。虽然正像我们在本文中将要展示的，由于人类在地球上能够测量到的引力波振幅的量级太小，对这一效应定量影响的忽略具有数量上的合理性。然而，从概念和教学的角度，对这一问题的定量研究却是非常必要和有价值的。我们的研究思路是，从线性极化平面引力波时空背景下麦氏方程组的一般形式出发，假设电磁波沿引力波波矢方向线性极化、垂直于引力波波矢并沿着其振幅最大或最小的方向传播，从而将电磁势非零的分量数降到最少，将其满足的偏微分方程复杂度降到最低，然后通过对电磁势时间和空间依赖形式的简化假设，将偏微分形式的麦氏方程组转化成一个带时间参数的描述电磁势空间分布特征的常微分方程并通过对该方程的数值求解得到期望中的电磁场分布及传播图像，从而为激光干涉引力波探测实验中测地光子近似的有效性提供定量评估的依据。

本文目的是介绍激光干涉引力波探测实验的基本原理并定量评估该实验原理中测地光子近似的精确程度。我们假设读者学习过电动力学和引力波理论的基础知识，显然文章内容对加深和扩展电动力学课程内容的教学具有积极的探索价值。文章接下来的两节将分别对上述两段中提出的问题进行详细的解答并在最后一节给出简单的总结。

2 激光干涉引力波探测实验原理

首先对引力波的概念做一个简单的介绍。使用电磁类比，引力波可以被理解为空间本身的一种振动，而且振动的等相面会由近及远地传播。空间本身振动的意思是说，如果在该空间引入一把固态尺子，该尺子的物理长度将以某种可测量的方式发生变化，这种物理长度的变化可能通过另一把不同材料因而具有不同弹性模量的固态尺子的测量发现，但最好的方法是通过光在这种尺子两端走一个来回的时间相对于不含引力波的静态时空下同样过程的时间差异来测量[4]。

时空本身的振荡或伸缩行为是用度规衡量的，为直观起见，设想一束沿 z 轴传播的单色引力波，它引起的时空振荡有两种偏振方式即所谓的+模式和×模式，前者波函数可写做

(1)

而后者可写作

ds2=-dt2+dx2+2hdxdy+dy2+dz2

(2)

现在，让我们使用时空图示法来考察激光干涉引力波探测实验的原理。参考图1,设想一单色激光光源在坐标原点O处被分成两束，沿相互垂直的OA,OB两臂传播，物理的光速由零质量粒子的测地线方程决定

(5)

显然坐标光速是依赖于引力波导致的空间振荡幅度的，

(6)

所以，如果画出沿着干涉仪两臂往返传播的光波波前的世界线，将获得图1所示的示意图。显然，当引力波穿过干涉仪平面时，干涉仪两臂OA,OB物理长度会随着时间周期性地变化，但其间光波的物理传播速度却不会发生变化。因此如果有两束同相激光同时从O出发沿x,y轴传播并在A,B处反射后回到O点，则它们的返回时间将存在差异(l表示干涉仪两臂在引力波不存在时的长度)，

(7)

显然，同时从O出发但沿着不同路径的光不可能同时回到出发点，而从两条e臂上同时回到出发点叠加的光一定不是同时出发的，因此它们之间必然存在相位差异，而且这种相位差异是依赖于引力波导致的空间伸缩幅度变化的。激光干涉引力波探测实验正是利用这一原理，将引力波导致的幅度仅为h0～10-21量级的空间伸缩效应转换成人眼可见的激光干涉条纹，从而实现对引力波的直接观测和验证的。

这里介绍的时空图示法准确而且直观地解决了本文引论部分提出的典型疑问：即由于引力波会导致电磁波波长和干涉仪臂长的同步变化

沿两条不同路径传播的电磁波为什么仍然出现相位差异并在最终叠加时导致时间依赖的干涉条纹？基于时空图示法的分析得之，这种相位差异来源于Ex,Ey中表面上看起来相同e-i ωΔt因子，沿着不同路径传播的电磁波往返一圈所花费的时间是不同的，参看表达式(7)。从教学的角度看，时空图示法是电动力学中狭义相对论部分的内容，但它在激光干涉引力波探测这样的前沿科学研究中竟然可以有如此简单漂亮的应用。因此如果我们能够将它适当地引入本科生的电动力学课堂，对于提升课程的前沿性和时代感显然具有积极的意义。

3 引力波背景下的电磁波

在上节对激光干涉引力波探测实验原理的介绍中，探针电磁波被假设具有确定的波长和频率，在被引力波导致的弯曲时空中沿测地线运动。可以把这种做法称作测地光子假设，这种假设从该实验原理的早期探讨[3]直到今天实验结果被发布出来，一直都被认为是合理的，原因是现实的可被探测的引力波振幅都是如此小以致它们导致的时空弯曲程度完全不足以引起其中光波波长和频率的可察觉变化。然而正如在引论中介绍的，类似像这种假设的可靠度有多高？当引力波振幅强到什么量级时会失效？之类的问题却一直没有被定量研究过，本节希望对这一问题给出一份认真的研究。

我们的出发点是一般弯曲时空背景下的麦克斯韦方程组[5]

方程(10)允许即便在弯曲时空背景下仍然可以,至少是定域地可以引入四矢量势Aμ表示电磁场，使得场强Fμ ν=Aμ;ν-Aν;μ，而且协变导数及散度则可分别计算如下

(14)

引力波是一种弯曲度随时间变化的弯曲时空，激光干涉引力波探测实验的原理就是让激光即电磁波在这种时空背景下沿着两条互相正交的光路传播一定距离后相干叠加，通过干涉条纹的时变特征对背景时空的引力波的变化频率和振幅进行定量的测量。当考察引力波时空背景下光信号的自由传播时，只需把麦氏方程组右边的源流矢量Jν设为零，同时将相应的度规和曲率张量设为(1)及下述形式

此处的曲率张量分量根据下述定义

作为求解麦氏方程组最简单的一步，可以验证上述形式的电磁场场势函数自然地满足洛伦兹规范条件

(19)

亦即

(20)

(21)

注意到所有下标非y的A场分量都等于零，并将全部非零的曲率和相关联络系数

代入方程(21),将得到

由于所考虑的电磁波只有Ay分量不为零，而Ay函数又不依赖于y坐标，所以上述4个分量方程中实际上只有第三个是非平庸的。

(31)

图2 引力波背景下的电磁波示意图引力波沿z轴传播，电磁波沿x轴传播，沿y轴偏振，这种电磁波具有形如的波函数

(32)

(34)

完整的电磁波波场可写为下述形式

(35)

(36)

这意味着将引力波背景下的电磁波看做具有确定频率和波长的平面波 (ke=ωe)对实验结果进行分析和解释可能产生的相对误差与引力波的振幅有相同的量级，由于实验中h0=10-21量级，这种误差确实可以忽略。由于引力辐射的振幅随着探测器跟源之间距离的缩小按负一次幂增强，因此如果希望在距离地球更近的某处(LIGO探测到的GW150914事件源距离地球10亿光年，振幅为10-21量级)发生类似的双黑洞合并事件，并且其产生的引力波到达地球上振幅能够达到10-11的量级，则“更近”的标准就是1光年！

虽然在太阳系附近1光年的范围内不存在任何其他恒星或双黑洞系统，但是我们的计算结果式(34)，(35)仍然有价值，其价值一是，它们从概念角度让我们明确了引力波背景下的电磁波不可能同时具有确定数值频率和波数的事实；价值二是，在高能对撞机实验中，如果产生引力子，其振幅和频率将同时达到那样的量级使得它们跟光子的耦合导致光子不可能同时具有确定频率和波数的结果。在理论研究中，存在大量文献[6-12]将引力子和光子同时处理为具有确定频率和波数的基本粒子的做法。根据本文的讨论，这种做法跟广义相对论实际上是存在明显冲突的。当前人们尚未对这些冲突进行认真的研究，原因主要在于将引力作用纳入微扰量子场论框架的研究并没有给出实验上可验证的理论预言，因此未受到认真关注而非这种做法本身不容置疑。其价值三在于，随着引力物理人工材料模拟研究的发展[13-15]，我们也许能够在看得见的将来设计并制造出合适的人工材料器件，利用其光学特性模拟引力波对电磁波传播的影响，在那样的模拟引力波器件中，引力波的振幅可以做到足够大以致式(34)所体现的电磁波波数不能为常数现象可以被直接观测到。

4 结语

本文讨论了两个问题，第一个是用时空图方法解释了激光干涉引力波探测实验的基本原理，这种方法直观而准确地消除了很容易困扰学生和研究者的一个关键问题：由于引力波会导致干涉仪臂长和激光波长的同步变化，凭什么两条互相正交光路上的光波在经过反射后汇合时仍然会产生时间依赖的相位差异？我们解释的核心思想是，这种相位差异不是来自于相位因子e-i ωΔt+i2πΔx/λ的Δx部分，而是来自于Δt部分。时空图是电动力学狭义相对论教学中的一个重要知识点，我们将它应用到引力波探测这样的前沿基础研究的讨论中，对于拓宽和加深电动力学课程的教学有重要的探索价值。

本文讨论的第二个问题是，引力波背景下的电磁波。文中严格地求解了线性、平面、单色引力波背景下沿着引力波导致的空间伸缩幅度最大方向上传播(主要沿该方向，实际上沿引力波传播方向电磁波的波矢量也有无法设为零的分量)，与引力波传播方向和空间申缩幅度最大方向同时正交的方向偏振的电磁波所满足的麦克斯韦方程组。我们的结果表明，引力波背景下的电磁波不可能同时具有确定的频率和波数定义。当频率取确定值时，波数会变成一个时空坐标依赖的量；反过来也一样。我们的研究结果对于定量评估引力波探测实验中的测地光子近似的准确性有重要的参考价值。我们的研究也有可能对那些将引力子像光子一样处理，使用微扰量子场论方法计算高能对撞过程引力子效应的研究构成一定程度的挑战。

本文第一部分的创新点主要在于教学角度，类似的方法在以前的文献和教科书中从未出现过。本文第二部分从科学研究角度考察具有原创性，据我们所知，本文是第一个导出引力波背景下特殊电磁波解析解式(34)，(35)的学术论文。

致谢： 本文内容在第16届全国电动力学研究会上报告过，作者非常感谢以朱传界、邓文基、李志兵、周磊、王振林，崔元顺，以及郑汉青等为代表的参会老师对论文各方面内容和问题的点拨和修改建议，同时也非常感谢未参会的罗春荣老师仔细阅读论文草稿并向会议学术委员会作出的热情推荐。

[1] The LIGO Scientific Collaboration, the Virgo Collaboration. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger”, Phys. Rev. Lett. 116(2016) 061102.

[2] LIGO Scientific and Virgo Collaborations. GW151226: Observation of Gravitational Waves from a 22-Solar-Mass Binary Black Hole Coalescence, Phys. Rev. Lett. 116(2016) 241103.

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ELECTROMAGNETIC WAVES IN THE BACKGROUND OF GRAVITATIONAL WAVES

Zeng Ding-fang

(School of Math and Physics, Beijing University of Technology, Beijing 100124)

This paper covers two topics. The first is the space-time diagrams’ application in the teaching and learning of principles of the laser interferometer gravitation wave observation experiments. The second is the exploration of electromagnetic waves in the background of gravitational wave backgrounds. We provide an exact nontrivial solution to the Maxwell equations in such a curved background and find that such electromagnetic waves could not have exact frequency and wave-number definition simultaneously. That is, if the frequency takes a definite value, then its wave-number becomes space-time coordinate dependent and vice versa. We use this results making quantitative estimation for the geodesic photon approximation in LIGO experiments. Our results is valuable for the teaching and learning of LIGO experimental principle and Maxwell equations under the curved space-time.

gravitational waves; gravitational time delay; laser

2016-12-31

曾定方,男,讲师,主要研究方向：String Theoy and M-theory,物理教育，dfzeng@bjut.edu.cn。

曾定方. 引力波背景下的电磁波[J]. 物理与工程，2017，27(3)：76-81.