含根式递推数列的求解策略
2017-07-05广东省梅州市梅县区高级中学514011
中学数学研究(江西) 2017年7期
广东省梅州市梅县区高级中学 (514011) 梁 奋
含根式递推数列的求解策略
广东省梅州市梅县区高级中学 (514011) 梁 奋
在各级各类的数学竞赛中经常出现含有根式的递推数列的试题,这类题往往结构复杂,方法多变而成为竞赛的难点,本文对此类题作一些探究和分析.
1.配方
2.换元
例2 (2009全国高中数学联赛山东预赛)
评注:本题表面上看和例1差不多,但仔细观察后发现利用配方法不凑效,对根式进行整体换元,问题便化为一个等差数列问题,也就迎刃而解.
3 平方
(1)证明:数列{an}是正整数数列;
(2)是否存在m∈N*,使得2015|am,并说明理由.
(2)略
评注:处理根式的最直接的方式就是平方,例3、例4很好的体现了这一点.去除根号后,可用因式分解或韦达定理化为二阶常系数线性递推式,进而求解.
4 取对数
评注:运用取对数的方法,可将含有指数式或根式的递推式化为一阶线性递推式.
5.变形
所以通项公式
6 先猜后证
A.1B.2C.5D.6
证明:①当n=1时,a1=5×21-1+1=6,命题成立;
评注:通过猜想归纳得出数列通项公式,然后用数学归纳法证明,是解决递推数列问题的一种常用手法,也是探究新知的一种重要手段.
通过以上几例,我们发现含根式递推数列的求解,关键在于通过恰当的数学变换,使问题转化为我们熟悉的数列问题.因此,在探究问题的过程中,我们要认真细致观察,大胆探索,并找出恰当的方法,使问题得到圆满的解决.