得“鱼”不忘“渔”方为正道

厦门大学附属实验中学 (363123) 林秋林

得“鱼”不忘“渔”方为正道

厦门大学附属实验中学 (363123) 林秋林

数学的新课程标准认为：学生应“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”．由此可见，“证明”是发展数学、学好数学的重要方式之一．在高中数学的日常教学中，公式和定理的证明教学是实施这一目标的重要载体，但由于不少教师只重视公式和定理结论的应用教学，把课堂主要时间都花在讲解定理应用的例题上，却对公式和定理的证明教学简单带过．由于受教师的影响，不少学生头脑里往往也只留下公式、定理的外壳，忽视它们的来龙去脉，不明确它们运用的条件和范围，导致这些学生只会“死记硬背，生搬硬套”．以下笔者结合自己的经历谈谈体会，愿与大家共同探讨．

1.问题的提出

在高三第一轮复习中，当复习到平面向量数量积的坐标表示时，有学生随口问到：老师，数量积的坐标表达式是怎么得到的？笔者一愣，反问他：“高一时不是有证明过吗？而且课本上也有证明过程的，想起来了吗?”该学生摇摇头，笔者再看班上其他学生，也多是一脸茫然．一问果然都忘记了，笔者不得不将其再推导一遍，大家这才释然．下课后笔者找了几个学习较好的学生了解了一下，才知道学生们忘掉这个公式的证明，一是因为高一时数学老师并没强调证明的重要性，课后也就只记住了应用；二是复习用书上只给出了结论，他们懒于再去翻找课本寻求答案．而且多数学生觉得只需要记住结论，懂得应用就可以了，弄清楚怎么证明只是浪费时间，所以大家从一开始就不放在心上，自然到复习时也就都想不起来了．

2.问题的思考

课后，笔者反问自己：如果只记住平面向量数量积的坐标表达式，而不会证明它，会对解题有影响吗？毕竟在全国卷及各省市的高考卷中，还从没有出现过与平面向量数量积的坐标表达式的证明有关的题型．这样看来，会不会证明这个表达式似乎不重要．但如果翻看文[1]，会发现[1]中对于平面向量数量积的坐标表达式的复习要求是：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．而对于“掌握”一词，[1]中是这样解释的：要求能够对所列知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决．可见对于数量积的坐标表达式的推导证明是有要求学生掌握的．

图1

例1改编自[2]中第102页习题4．笔者利用其对两个班的90名学生进行课堂训练．结果在有限的时间内，正确率不到50%．有的学生还是利用向量模长的坐标公式去计算，而忽视了此时的基底已经改变了，因而得到错解．由此笔者认为平面向量数量积的坐标表达式的证明过程在平常解题中虽然用处不大，但其中蕴含的数学思想方法不容忽视，甚至比结论本身还重要．“结论是如何得来的？”这个问题应该是学生学习相关知识时思维的依托，没有这个依托，知识的识记和运用就缺失了坚实的基础，知识就变成了孤立的“点”，缺乏建构性，因而就无法融会贯通．因此，让学生体验知识的形成过程以及掌握其形成过程就变得尤为重要．

文[1]中的考试内容及要求还出现了很多“掌握”、“会推导”及“能够证明”等描述，可见公式和定理的推导证明是本就要求受到重视的．经过认真研读文[1]，笔者及时反思自己的教学观念和复习方式．在之后的复习中笔者也更加重视公式和定理的证明及推导．现在的高中数学教学过于侧重公式和定理的应用，而经常忽视公式和定理的探究和推导过程，造成的后果就是学生往往知其然，不知其所以然．这在之前其实也没引起什么异议，因为高考数学命题原则上不会出现教材原题，更别说公式和定理的证明了．但2010年的四川高考数学文理科试卷却带给了大家一番冲击：

例2 (2010四川高考)(1)①证明两角和的余弦公式Cα+β∶cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；

②由Sα+β推导两角和的正弦公式Sα+β∶sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

紧接着，又一番冲击到来．2011年高考数学陕西卷文、理试卷中均出现一道解答题，题目是“叙述并证明余弦定理”，顿时让人眼前一亮，无数人为之叫好．但同时反应出来的问题也不能让人忽视，就是这么一道没人称之为难题的题，得分情况却不尽如人意．而接下来几年陕西省的高考数学卷依旧没让人失望：

图2

例3 (2012陕西高考理)(1)如图2，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．

(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．

例4 (2013陕西高考)(理)设{an}是公比为q的等比数列．

(1) 推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列.

(文)设Sn表示数列{an}的前n项和．

(1)若{an}是等差数列，推导Sn的计算公式；

之后从2014起，人们发现已找不到类似的能让人拍案叫绝的高考题了．个别省份也有着明确规定：试题可以是取材于教材或课外参考资料中经过实质性改造后的问题，但切忌照搬任何教材或课外参考资料的原题或未经实质性改造过的题目．再加上从2016年起全国大部分省份又陆续回归了全国卷，可以想象到的是高考全国卷中也不会出现公式或定理的证明了，但笔者认为这并不意味着就可以不用重视公式定理的证明及推导，或许下面的例5可以带给我们一些启示．

例5 (2015四川高考理)如图3，A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角．

图3

这道题的第(1)问出自[2]第142页习题1．从中可以看到，即使高考不再考查公式或定理的证明，但假如学生们拥有对这些公式或定理的自我推导能力，那么他们对类似的经过实质性改造过的题目应该也不会发怵．

3.问题的影响

以上这些高考试题的出现，恰恰击中了以往高中数学教学的软肋．笔者当年第一次带高三毕业班，在高三复习时，就是追随其他老教师的复习思路，即先复习公式定理，然后讲题、解题，以公式和定理的应用为主，对于公式和定理的推导过程则几乎完全忽略．直到有一次讲评月考试卷时碰到下面的一道题：

这道题当时竟然有不少同学做错，经过了解才知道他们高一时不重视公式的推导，复习时也只记住了等差数列前n项和公式，而不关心这个公式是怎么推导出来的，考试时完全想不起来，最后只能无奈放弃了．原本只是一道考查倒序相加法的中档题，对于高三学生来说应该难度不大，但没想到结果却差强人意．笔者当时也很懊悔，讲评时也针对这道题重新强调了等差和等比数列的通项公式及前n项和公式的推导．古人常说：授人以鱼,只供一饭只需；授人以渔，则终身受用无穷．可是有的时候老师恰恰忽视了“渔”,只希望学生能得到“鱼”即可，所以学生也就只伸手接“鱼”而不管“渔”．这在某种程度上使学生产生惰性，更不愿去思考公式或定理成立的个中原因，而只愿意在一些解题方法解题技巧上苦下功夫，这样根本无助于学生真正掌握数学知识，无助于学生形成良好的认知结构．而且如果高考中一旦出现与公式或定理有关的改编题，这些学生就会束手无措，无计可施，这并不是我们老师想看到的后果．更何况这很有可能导致恶性循环，因为有很多的学生在将来大学毕业后也会走上教育岗位，从事中学数学教学工作，而他们只会将这种忽视公式或定理的推导证明的教学思路继续传递下去．这里文[3]中提到的一个现象值得大家注意：

江苏省无锡市年轻教师教学基本功大赛第一轮解题比赛，有一道源自教材的试题“向量共线定理的证明”，这是一道推理证明题．答卷反馈情况为：27位选手中仅40%得满分，约40%的选手得一半分，约20%的选手不得分．错误主要表现为：对教材不熟悉，逻辑关系模糊，出现循环论证．

4.问题的解决

这个现象不禁让人深思．作为教师本应授人以“渔”，但如果连自己都不会“渔”，何以授人呢？文[3]中指出：“初中的课标和教材淡化了几何证明的要求，降低了代数运算的要求．对于刚进入高一的学生，已经习惯于初中的直观、感性学习新知，给推理证明的教学带来了一定的困难；高二虽在选修教材中有《推理与证明》一章，但一些学校重视不够；到了高三复习，再来强化多字母和抽象函数的推理综合训练，学生当然难以接受．因此，在高中数学教学中，对学生加强推理证明的训练具有十分重要的作用”．

高考不仅考查基础知识，还注重考查能力，其中能力就包括推理论证能力．推理论证能力是指根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力．公式和定理是高中数学知识体系的重要组成部分，是数学推理论证的重要依据．因此对学生加强推理论证能力的训练就必须从公式或定理的推导证明抓起，要让学生明白推导证明过程的重要性．事实上，当学生们能够把公式定理的推导证明做到得心应手时，也即领会了数学知识的本质，对于它们的应用及变式则更加不在话下了．例如下题：

例7 (2015江苏高考理)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．

(1)证明：2a1,2a2,2a3,2a4依次构成等比数列；

(2)是否存在a1,d，使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列？并说明理由；

(3)是否存在a1,d及正整数n,k，使得an1,an+k2,an+3k3,an+5k4依次构成等比数列？并说明理由．

笔者认为，在学习过程中让学生经历公式定理是如何被发现的，结论是如何得到的，能够让学生更加主动地建构自己的认知结构，充分释放自己的潜能，感受学习的乐趣．这样不仅使学生提高了分析问题、解决问题的能力，而且有助于发展他们的思维能力，提高学习效率．笔者目前很重视对学生这方面的要求，在课堂教学时经常把某些公式、定理的证明作为作业对学生进行强化，目前反映出来的效果不错．例如，由于文[1]中对“线面、面面平行及垂直的性质定理”有明文要求 ：理解以下性质定理，并能够证明，因此笔者在教学立体几何时，不时通过作业、课堂提问等形式考察学生们对几个性质定理甚至判定定理证明的掌握情况．也由于笔者的重视，引起学生的重视．而之后的几次考试中立体几何证明题的解题情况相对其他班好上不少，这也让学生感觉很有成就感，于是他们更加有兴趣，在自主复习时都会注重公式和定理的推导过程，让笔者颇感欣慰．

要转变大家不重视“渔”的普遍观念，是一项长期且艰巨的工作．但只要教师从自身做起，重视公式和定理的推导过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，从一点一滴抓起，必将有利于学生整体数学素质的不断提高，更加有利于新课程改革的不断发展．也因此，笔者认为：得“鱼”不忘“渔”方为正道．

[1]2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲及其说明(理科)[S].高等教育出版社，2017．

[2]人民教育出版社，普通高中课程标准实验教科书：数学4(必修)A版 [M].人民教育出版社，2007．

[3]王华民，阮必胜.立足教材，着眼长远，培养高一学生推理证明的能力[J].中学数学教学参考(上旬)，2011，10.

[4]吴晓英，巨申文.为“叙述并证明余弦定理”成为高考试题叫好[J].中学数学教学参考(上旬)，2011，10.