例谈高中数学复习课有效性的提高

吴莉莉

摘要：怎样的复习课才是有效的？这个问题时常困扰着笔者。一次《基本不等式的证明》复习课的实践，让笔者对这个大问题有了一点点小的认识。文中结合课堂过程的再现，谈谈对三个相关问题的粗浅看法。分别是：数学公式、定理的教学与复习应关注哪些方面？复习课中如何设计“三基”训练？复习课中如何协调教师的导与学生的学？

关键词：复习课；基础；主导；主体

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）05-0047

一、上課实录

1. 基本不等式a2+b2≥2ab的直接证明

上课后，笔者直接出示问题1：如何证明基本不等式a2+b2≥2ab？看到学生迷茫状，笔者补了一句：回忆一下，不等式证明有哪些常用的方法？这下立即有了反应。

生：可以用比较法证明，作差可得（a-b）2≥0。（好简单，学生微微点头。）

生：也可以由（a-b）2≥0推得a2+b2≥2ab，那是……综合法。对，还有分析法。

生：我觉得反证法也行！（学生笑开了。）

学生齐答，笔者板书分析法：

要证a2+b2≥2ab，

即证a2+b2-2ab≥0，

只要证（a-b）2≥0，这显然成立，

所以，a2+b2≥2ab成立。

笔者马上追问：不等式中等号何时取到，a、b的取值有何要求？回顾证明过程，学生很容易给出了答案。

（问题1的设计不仅让学生回忆了证明不等式的基本方法和相应的表述特点，还使学生认识到不等式a2+b2≥2ab与“实数的平方是一个非负数”的本质联系。）

2. 基本不等式a2+b2≥2ab的构造证明

当学生在回味以上简洁的证明时，笔者又提问：上面的证明方法都很好，我们还能用其它数学知识证明吗？刚才还较热闹的课堂一下子又安静了下来。几分钟过去了，没有学生举手。

师：a2，b2，ab这些式子能让我们联系什么数学知识？大家不妨画几何图形试试。经提示，学生回忆起构造如下平面图形，用面积说明不等关系a2+b2≥2ab（也可以说是它的变形），此时a，b取正实数。

（通过引导学生回忆不等式的几何证法，加强数形联系、转化能力，丰富学生对基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R+）几何含义的认识。）

师：我们知道，数学中的一些知识，如三角、向量紧密地联系着代数与几何，我们能否用这些知识证明以上不等式呢？学生的思维再次被激发，经过讨论、补充，结合几何图形，又整理出以下两种证法：

师：“为什么要加上a，b∈R*这个条件，能将它去掉吗？”“这是因为……”学生还来不及回答，这时下课的音乐响了起来，但我相信学生的思维正处于高潮中。

二、分析与反思

1. 数学公式、定理的教学与复习应关注哪些方面？

基本不等式a2+b2≥2ab可看成是数学公式和定理，平时在教学和复习数学公式和定理时容易产生“掐头去尾烧中段”的情况，也就是“一背二套”“公式加例题”的形式，这种形式的教学往往使学生头脑里只留下公式、定理的外壳，忽视它们的来龙去脉，不明确它们运用的条件和范围。事实上，在公式与定理的教学与复习时应关注：本源，推导（证明），限制条件和特例、变形与联系、应用等。通过教学与复习，应使学生达到以下目标：一是要用准确的数学语言表述公式与定理的内容，明确其使用的条件和适用的范围；二是要正确地掌握其证明及推导方法，并适当变形，联系其他知识构造再证明；三是要探讨对一些重要的公式和定理能否作适当的引申与推广；四是整理公式与定理的应用规律。我们在教学中，必须以适当的方式将公式和定理的发生、发展、变化过程展示给学生，让学生通过自主学习获取知识，并领悟公式和定理所包含的数学思想方法，灵活地掌握知识，运用知识，达到提高分析问题、解决问题的能力。避免死记硬背，生搬硬套，做到“活学活用”。

2. 复习课中如何设计“三基”训练？

复习的目的是使学生进一步系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力以及综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力。在设计复习问题时，既要关注知识交叉点的训练，又要注重问题的能力立意，同时不忘解题技能练习和书写规范，最后强调解题后的反思，悟出解题策略、思想方法的精华。本课在复习基本不等式a2+b2≥2ab的同时，涉及了不等式的4种基本证明方法（比较法、综合法、分析法和反证法）及相应的表述训练，强化数形结合思想，函数、方程与不等式的联系与转化能力的应用，加深对代数、几何、三角函数、向量等数学知识相关性的理解。总之，复习课教学内容的选择上应该按学生的认知规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开，既考虑知识的广度与联系度，又关注课堂学生的思维、能力、思想与方法的训练量，提高综合运用知识解决问题的水平。

3. 复习课中如何协调教师的导与学生的学？

学生通过自己的努力理解的东西，才能成为自己的东西，才是他真正掌握的东西。复习课不能由教师一人讲解，更不能成为教师展示自己解题“高难动作”与“绝活表演”的舞台，而要让学生成为学习的主人，让他们在主动积极地探索活动中实现创新、突破，展示自己的才华智慧，提高数学素养和悟性。在解决课堂问题中，学生难免出现“思维障碍”，教师恰时恰点的指导至关重要，但我们大可不必在外围处进行浅表性的启发诱导，而要在关键处引导学生探寻突破口，让学生的思维在要点处闪光，继而暴露问题，磨砺意志，提高能力。

（作者单位：江苏省扬州市江都区第一中学 225200）