浅谈初中数学例题教学的点滴体会

董俊剑

【摘要】很多教师对例题的教学往往只偏重于知识的传授、解题技巧的训练，有的甚至是就题论题，局限于问题的结果，而忽视了问题教学的更高层次—“问题延伸”。课本的例题是对巩固知识、培养数学思想和创新意识的载体，具有很强代表性和示范性。教师在数学教学实践中应加强研究，注意多解创新、变式引申和化归推广，引导学生思考发掘例题的潜在功能，为分析解决具体的数学问题提供了方向。

【关键词】初中数学 例题 体会

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）11-0048-02

在初中数学教学活动中，教师要培养学生的学习积极性和主观能动性，切实有效地引导学生学好基础知识及例题分析，就能更好提高解题能力和数学思想方法的总结。因此，教师必须加强对教材中例题教学的研究，以提高教学效果和数学素养，下面具体谈谈个人的几点体会。

一、找多解，求创新，集思广益

当教师引导学生用不同的方法去寻求解题思路时，知识重现的范围就会扩大，既复习已学的知识，又有利于深化知识；而且每解一题都会有一定的发现和积累，这样，在一程度上就可提高解题能力和解题经验、培养解题的创新精神。在日常教学中，可采取以下几点的措施。

1.重过程，走捷径

北师大版初中数学教材中有些问题在例题中，也有的在“探究活动”中，而这些问题的求解往往可以多思维、多方法求解；教学时，若只讲一种解法写出解答，而没有深入探究、归纳和利用，就很难培养学生多种方法的解题能力。反之，在教学过程中若能准确地分析问题的条件关联；就能找出解题捷径，提高解题的简捷性和合理性。

例1、关于x的二次函数的图象经过点A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？

解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c这是本题所具有的明显特征；

解法二：设二次函数解析式为y=a（x+m）2+k这是分析题目可以引申的方法。

评析：此节前已学过用一般式求二次函数的解析式，大部分学生容易想到用一般式求解；但对题目所给点的特征加以分析可以知道A，C两点是对称点从而得到点B就是两次函数的顶点，因此可以利用顶点式来求解。因势利导，让学生用两种方法板演对比，使大家清晰地领悟到数学问题的深入分析可以提高解题的简捷性。

2.勤思考，试多解

在教学中，可让学生对教材中一些例题尝试一题多解，鼓励他们从不同的角度、分析条件和结论之间的内在联系，使学生在解题中更加积极、主动，充分发挥创造性。

例2、如图，已知△ABC中，AB=AC，在AB上取一点D，在AC的延长线上取一点E，连接DE交BC于点F，若F是DE的中点。求证：BD=CE

证法一：过点D作DG∥AC，交BC于点G（如图1），证明△BDG是等腰三角形得到BD=DG，进一步去证明△DFG≌△EFC得到DG=CE，从而得到BD=CE这个结论

证法二：在AC上取一点H，使CH=CE，连接DH（如图2），证明CF是△EDH的中位线得到CE=CH，进一步去证明CH=BD，从而得到BD=CE

评析：本题的不同解答，使学生学会了几种常用辅助线的添法及不同定理的灵活运用，对激发思维和培养思维的发散性起到重要作用。

3.既温故，又知新

复习时，要用新的知识观回顾以往例题，再寻找题目中条件与结论逻辑联系的特殊性和普遍性，重新设计解题方案，让学生在有限的问题研究中得到知识的互相渗透、深化和再创造，可让学生站在更高一层次看待问题，学会用思维指导行为；也可以学会一种自主学习数学的方法，授之以渔；还可以横向、纵向提升难度，拓展思路，训练思维的作用。从而达到克服“題海战术”的盲目性。

例3、如图3，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，⊙O是以BC为直径的圆，设AD边上有一动点P（不与A、D重合），BP交⊙O于点Q。

（1）设线段BP长为xcm、CQ长为ycm，求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）当BP=CQ时，求△BQC与△PAB的面积比。

解：①由△BQC∽△PAB，得到y=（5

②S△QBC：S△PAB=CQ2：AB2=40：25=8：5。

当学习了解直角三角形和直线与圆的位置关系后，可重新回顾此题，引导学生用面积法思考图形间的相互联系。

另解：

①运用关系式：S△BPC=BP×CQ=xy，S△BPC=S矩形=×5×8=20；

②运用关系式：S△BQC=×8×y×sin∠BCQ，S△PAB=×5×x×sin∠APB，又证得∠BCQ=∠ABP，可得结论。

评析：通过上例运用三角形知识解决几何问题，不仅使学生得到数学思想方法的训练，而且能激发学生复习教材的兴趣和提高学习的积极性。

二、巧引申，善变化，以少胜多

美国心理学家布鲁纳认为：“探索是数学的生命线。”对命题的引申、猜想是发现新知识的有效办法，是数学教学发展的基本动力。在数学教材中有很多例题都具有很深的题材背景，为我们的数学教学研究提供了大量的引申素材。只要引申恰当，就能以少胜多，使学生能更深刻、更灵活地掌握有关的数学知识。当然，教师应根据学生的实际情况，确定具体的引申方法。

1.一题多问

根据学生的实际水平和教材中例习题的特点，对某些例题恰当地进行延伸提问，以一题变为一串问题，让学生的思维得以顺延并始终处于积极兴奋的最佳状态，从而加强教学效果。

例4、对于以上例3可继续提问：（1）BP能否是CQ的2倍？为什么？（2）当时，求△BQC与△PAB的面积比和AP的长；

例5、已知：如图4，△ABC和△ADE都是正三角形。求证：CE=BD。

可继续提问：（1）AB交CE于F，BD交AE于G，求证：AF=AG；

（2）当C、A、D点在同一直线上时，求证：FG∥CD。

评析：通过对这些问题的解答，使学生对图形中各元素间的关系有深入全面地了解，加强了有关知识的应用，提高了分析问题的能力。

2.一题多变

在日常教学时，可针对教材中例题的结构、图形的特征，或把题设和结论相应地进行一些变化，让学生在变化过程中观察、对比、联想，有助于培养思维的灵活性和应变能力。

例6、如图5，已知一个直角三角板的两条直角边边分别为30cm和40cm，现要求在内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。

（1）、如果设矩的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？

（2）、设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

在上面的问题中，如果把矩形改成如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？

评析：本题有助于对几何变式的问题深入理解和数学思维的顺延有着启示作用，对知识的深入理解和综合应用形成有效的训练。

三、多反思，会推广，难化易

任何学科的发展都应将繁杂的研究对象进行分类、研究，然后探求它们的内在联系和独立的特性。在数学教学中要经常总结各类例题的解题思路，形成解题系统方法，发展学生整体性思维能力，提高解题质量。

1.总结失误的教训

教学时，要注意加强解题过程中易发生错误性的教学，要尽可能让学生反思得出的结论，使其对数学知识的肤浅理解能在课堂中表露出来，并得以纠正，有利于培养思维严密性和条理性。

例7、设x1、x2是方程x2-2（k-1）x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。

解法一：

由韦达定理易解得k1=0，k2=4；当k1=0时，△>0；当k2=4时，△<0。∴k2=4不合题意，舍去。∴k=0。

解法二：

由韦达定理易解得k1=0，k2=4；∵△=4（k-1）2-4k2=-8k+4≥0，∴k≤ ，∴k2=4不合题意，舍去。∴k=0。

评析：当学生解得k1=0，k2=4时，往往以为解题已经结束。教师应启发学生回顾一元二次方程有两实根的条件及韦达定理的前提条件，思考得出以后结论。俗话说“吃一堑，长一智”，这样，加深了对有关知识的理解和灵活运用，避免了以后出现习惯性的错误。

2.体验数学思想方法

初中数学思想方法从宏观上看有分类、归纳、类比、演绎、抽象、方程、化归、建模、整体化、数形结合等。在日常教学中，不仅要使学生学好基础知识和掌握基本解题技能，重要是把数学思想方法归纳、总结贯穿于教学之中，让学生在解题时能准确地分析与运用。

例8、如图6，已知矩形ABCD，AB=4cm，BC=8cm，把矩形沿对角线BD对折，使BC/与AD相交于点F。求：重叠部分△BFD的面积是多少？

评析：利用折叠原理的图形特征进行转化，求解△BFD的面积进而归纳为求线段FD的长度，进一步分析利用勾股定理的等量关系构造方程求解。

例9、如图7、二次函数的顶点坐标A（1，-2），与x轴相交于B（-1，0），

问：抛物线上是否存在点C使得△ABC是一个直角三角形，若存在求出C点的坐标，若不存在请说明理由。

解法一：

分类讨论分三种情况：以A、B、C为直角顶点，分别形成两两垂直的直线进而求解直线与二次函数的交点。

解法二：

利用整体的数学思想：描述出AB、AC、BC的三条线段长度，利用勾股定理的等量关系，构造方程求解。

评析：教学时，要对这两种方法做详细的分析，讓学生体会到分类讨论与整体思想在数学解题中的重要运用。

笛卡儿说：“我所解决的每一个问题将成为一个范例，以用于解决其它问题。”综上所述，教师讲解课本例题时，不应是“授人以鱼，只供一饭之需”，而应是“授人以渔，则终生受用无穷”。只要针对学生实际，充分挖掘教材的潜在功能，努力培养学生思维能力和解题习惯，就能使之正确、合理、简捷、清楚地解决数学问题，达到提高教学质量作用。

参考文献：

[1]黄旭华.新课标下数学习题的演变.中学数学教育，210，1-2.

[2]黄建荣.课本例题的研究、创造与再应用.中学教研（数学），20014，1.

[3]韦布才.发挥习题角色功能的教学尝试.中学教研（数学），2004，5.

[4]李秀元.由教材例习题引发的思考.中学数学教学参考，20014，3.