基于已实现NGARCH模型的上证50指数的风险度量

魏正元，罗云峰，余德英，王爱法

(重庆理工大学 理学院， 重庆 400054)



基于已实现NGARCH模型的上证50指数的风险度量

魏正元，罗云峰，余德英，王爱法

(重庆理工大学 理学院， 重庆 400054)

基于NGARCH模型刻画了波动率的杠杆效应特征，在已实现GARCH模型的波动率方程中引入杠杆参数的扰动，建立了新的已实现NGARCH模型，并研究了新模型的动态VaR估计问题。上证50指数5 min频率高频数据VaR估计的返回测试结果表明：该新模型比已实现GARCH模型更好地刻画了波动率的杠杆效应特征，在一定程度上提高了风险度量的预测精度。

金融高频数据；杠杆效应；已实现NGARCH；风险度量；Kupiec失败率检验

近年来，随着电子化交易的普及和信息技术的快速发展，金融市场的波动性也日趋激烈，如何更精确地度量金融风险引起了人们的高度关注。金融风险度量方法经过半个多世纪的发展已经取得较大的进展，其中以Morgan提出的VaR(value at risk) 的使用最为广泛[1]。VaR表示在给定置信水平下，某个金融资产在未来观测期内可能承受的最大损失。置信水平为p的VaR被定义为

(1)

其中: {rt,t=1,…,n}表示日对数收益率序列；Pt-1表示截止于t-1期信息的条件概率。

如何估计资产收益的波动率是金融风险度量的关键问题，而波动率的估计精度主要取决于模型的假设和数据的采集频率。在金融计量中波动率估计方面，以Bollerslev为代表的学者们提出的一系列GARCH族模型的应用最为广泛[2]。传统的GARCH族模型是以低频数据作为研究对象。随着计算机技术和存储技术的快速发展，使得金融高频数据越来越容易得到，且高频数据比低频数据包含了更丰富的市场信息，更受研究者的青睐。Andersen等[3]于2001年提出将高频数据下的已实现波动率 (realized volatility,RV) 作为真实波动率的估计量，使波动率计算不需要假设模型，相对简洁。比较GARCH族模型和已实现波动率不难发现：GARCH族模型刻画了过去收益对当前收益波动的影响，但该族模型并不适合以高频数据作为研究对象的情况；已实现波动率的提出充分利用了高频数据包含丰富市场信息的优点，但已实现波动率不能刻画过去收益对当前收益波动的影响。基于此，Hansen等[4]于2012年提出了一种将GARCH模型结构应用于高频数据的模型，称为已实现GARCH (realized GARCH,R-GARCH)模型：

(2)

波动率模型的假设直接影响波动率的估计精度。为了提高估计量的准确性，需要考虑波动率的聚集性、长记忆性及杠杆效应等特征对估计精度的影响。聚集性是指某个金融资产在受到市场信息冲击时，在某个观测期内资产收益的波幅较大，而在其他观测期内波幅较小。长记忆性是指波动率与滞后无穷阶的波动率都有相关性。杠杆效应是指某个金融资产在受到市场信息冲击时，波动对大的正负收益的冲击是不对称的，对负的收益的冲击更大[5]。针对波动率特有的特征，Yan等[6]于2015年提出了高频数据下的FIGARCH模型。研究结果表明：波动率的聚集性和长记忆性会直接影响波动率的估计精度。Hansen等[7]于2016年提出了已实现EGARCH(Realized EGARCH)模型，该模型体现了过去多阶误差项对当前收益大小变化的非对等影响。

波动率的杠杆效应特征影响波动率的估计精度，从而影响金融资产风险度量的准确性。为此，本文基于NGARCH模型刻画了波动率的杠杆效应特征，在已实现GARCH模型的波动率方程中引入杠杆参数的扰动，建立了已实现NGARCH (realized NGARCH,R-NGARCH) 模型。新引进的杠杆参数刻画了过去多阶误差项对当前收益大小变化的非对称扰动，进一步研究了杠杆效应对金融风险度量精度的影响。

1 R-NGARCH(p,q) 模型

为了刻画波动率的杠杆效应特征对波动率的估计精度的影响，考虑在R-GARCH(p,q) 模型的波动率方程中引入杠杆参数的扰动，提出了如下的R-NGARCH(p,q) 模型：

其中θ为杠杆参数。由式 (3) 可以看出：R-NGARCH(p,q) 建立了条件方差ht关于ht-i(i=1,…,p)和已实现测度xt-j(j=1,…,q)的动态方程，同时建立了已实现波动率xt关于条件方差ht和杠杆参数θ的函数关系。

R-NGARCH(p,q) 模型实质上是一个离散时间的随机波动率 (stochasticvolatility,SV) 模型，但由于波动率的已实现测度的存在，因此R-NGARCH(p,q) 模型可以直接用极大似然估计(maximumlikelihoodestimator,MLE)方法来得到所有参数的估计值[8-11]。

假设{zt}服从正态分布，由式 (3) 可计算出收益率序列{rt}的对数似然函数为

波动率的预测过程可归纳为：首先，由极大似然估计方法计算出模型中所有参数的估计值；其次，由参数的估计值计算出初始条件方差h0的估计值；最后，将参数估计值和初始条件方差h0代入式 (3) 进行迭代计算得到波动率ht的预测值。

综上，基于R-NGARCH (p,q) 模型的VaR度量的具体步骤为：

1) 对采集的金融高频数据进行处理，选取合适频率的数据计算出已实现波动率序列{xt}。本文选取5 min频率的高频数据。

2) 建立R-NGARCH(p,q)模型，采用样本自相关函数 (ACF) 来确定模型的阶数，并对模型的估计方法进行随机模拟，验证模型参数估计的准确性，最终计算出模型中所有参数的估计值。

3) 将参数估计值和初始条件方差h0代入式 (3)，迭代计算波动率ht的预测值。

4) 假定置信水平，由该分位数值与波动率的估计值得到VaR的预测值。

5) 基于实际金融数据对得到的VaR进行Kupiec失败率检验，验证模型的风险预测精度。

2 实证分析

2.1R-NGARCH(p,q) 模型的随机模拟

使用蒙特卡罗方法来检验R-NGARCH(1,2) 模型的参数估计的准确性。从正态随机变量(均值为0，方差为1)中随机抽取t=244个样本(表示1年中244个交易日的日对数收益率序列)。将样本数据代入模型计算出各个参数的估计值。该过程分别重复N1=500，N2=1 000，N3=1 500次。

表1给出了不同次数下R-NGARCH(1,2) 模型的随机模拟结果。由表1可知：9个参数的真值与其估计均值非常接近，所有参数的均方误差在5%的显著性水平下均是显著的；同时，随着模拟次数的增加，参数估计均值更接近于参数真值，参数估计的均方误差也越小。模拟结果表明：本文所采用的波动率的估计方法具有较高的准确性。

2.2 数据与样本说明

本文采用的数据为上证50指数2016年244个交易日的日对数收益率序列(图1) 和5min频率的已实现波动率序列(图2)。图1和图2证实了波动率存在聚集性和杠杆效应等特征，说明该数据比较适合用GRACH族模型来建模。数据来源为锐思数据库(www.resset.cn)。

图1 上证50指数2016年的日对数收益率

图2 上证50指数2016年的已实现波动率

2.3 R-NGARCH (1,2) 模型的数据拟合

图3为收益率的样本ACF图与样本绝对值ACF图。从图3可以看出：收益率序列的相关性较弱，而绝对值收益率序列自第2阶起序列间有较强的相关性，说明收益率序列存在显著的ARCH效应，因此用R-NGARCH (1,2) 模型来拟合该数据。

图3 对数收益率及绝对值收益率的ACF图

表2为基于上证50指数5 min频率高频数据的R-NGARCH(1,2) 模型的参数估计结果。从表2可看出：参数的估计值在5%的显著性水平下均是显著的，表明参数的估计精度较好；φ1与φ2的估计值之和接近于1，说明波动率的已实现测度是真实波动率的渐进无偏估计；zt和θ为负相关，说明杠杆参数θ对负的收益做出的反应更为明显，证实了杠杆效应对波动率的估计精度的影响。

将表2得到的参数估计值代入初始条件方差为h0的R-NGARCH(1,2) 模型进行迭代计算波动率ht，得到ht的估计值。为了验证该模型的估计精度，同时还计算出基于5 min频率高频数据的R-GARCH(1,2) 模型的波动率的估计值。将两种不同模型的波动率的估计值代入式(1)计算出相应的VaR，最终比较两种不同模型的VaR预测的精度。

表1 基于不同次数下R-NGARCH (1,2) 模型的随机模拟结果

表2 R-NGARCH(1,2) 模型的参数估计

2.4 VaR的返回测试

由于VaR是基于过去信息建模得出的未来风险价值，因此无论采用哪种方法得到的有关金融资产收益的VaR，其实质上都是一个估计值，需要对其预测结果的准确性进行返回值测试。VaR返回值测试的方法很多，其中最常用的是Kupiec[13]提出的失败率检验法。该方法的基本思想为：金融资产真实亏损超出风险价值的事件可看作服从0～1分布中发生的相互的独立事件。定义示性变量：

(4)

原假设为H0:W<α(α为显著性水平)，W=F/T，F为失败天数(即真实亏损超过风险价值的天数)，T为实际观测天数。Kupiec给出了其似然比统计量

(5)

在原假设条件下，统计量LR服从自由的为1的χ2分布，检验p值为

(6)

如果p<0.05，则拒绝原假设；反之，不拒绝原假设。由p值的定义和LR统计量的构造可知，当检验结果在5%的显著性水平下不显著时，p值越接近于置信水平，其VaR的预测结果就越精确。

图4、5分别为在95%的置信水平下5min频率高频数据的R-GARCH(1,2) 模型与R-NGARCH(1,2) 模型的VaR预测结果。由图4、5可知：在244个交易日中，R-GARCH(1,2) 模型有9d预测失效，R-NGARCH(1,2) 模型有13d预测失效。

表3为在95%的置信水平下两种不同模型的VaR预测结果，并根据式(5)(6) 计算出对应的LR统计量的p值。从表3可看出：R-GARCH(1,2) 模型预测收益的溢出率为3.69%，LR检验的p值为0.325 1，测试结果在5%的显著性水平下不显著，但远小于置信水平，预测结果明显高估了市场风险；R-NGARCH(1,2) 模型预测收益的溢出率为5.33%，LR检验的p值为0.816 1，测试结果在5%的显著性水平下不显著，且p值较接近于置信水平，其预测结果更为准确。两种不同模型的VaR测试结果表明：R-NGARCH模型的市场风险度量能力优于R-GARCH模型。

图4 95%的置信水平下R-GARCH(1,2) 模型的VaR预测图

图5 95%的置信水平下R-NGARCH(1,2) 模型的VaR预测图

模型溢出天数溢出率/%LR检验的p值R-GARCH(1,2)93.690.3251R-NGARCH(1,2)135.330.8161

注：溢出天数表示实际损失大于VaR的预测值，溢出率=(溢出天数/观测天数)×100%。

3 结束语

本文基于NGARCH模型刻画了波动率的杠杆效应特征，提出了R-NGARCH模型。在此基础上，首先分析了R-NGARCH(p,q) 模型的金融风险度量方法，并列出具体操作步骤。其次，对R-NGARCH(1,2) 模型的估计方法进行了蒙特卡罗模拟。模拟结果表明：新模型的参数估计值有较好的稳健性。最后，基于R-NGARCH(1,2) 模型对上证50指数2016年244个交易日的收益率序列及5 min频率的已实现波动率序列进行了实证分析。结果显示：R-NGARCH模型较好地体现了波动率的杠杆效应特征，模型的市场风险度量效果优于R-GARCH模型，在一定程度上提高了风险度量的预测精度。

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(责任编辑 陈 艳)

Measure of Risk for SSE 50 Index Based on Realized NGARCH Model

WEI Zheng-yuan, LUO Yun-feng, YU De-ying, WANG Ai-fa

(College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

We constructs a new realized NGARCH model by introducing perturbation of leveraged parameter in the volatility equations of the realized GARCH model, which is based on the leverage effect of volatility described by the NGARCH model. Further, we analyze the dynamic VaR estimation problem of the new model. Empirical analysis about the high-frequency data of Shanghai Stock Exchange 50 index shows that the new model is more suitable than the realized GARCH model in describing the leverage effect of volatility. By using our new model, we can improve the prediction accuracy of measure of risk in a certain extent.

high-frequency financial data; leverage effect; realized NGARCH; measure of risk; Kupiec proportion of failures test

2017-03-22 基金项目：国家统计局统计科研重点项目(2014Z25)；重庆市教委科学技术研究项目(KJ1500925,KJ1600930)；重庆理工大学研究生创新基金资助项目(YCX2015228)

魏正元(1975—)，男，湖北襄阳人，博士，副教授，主要从事应用概率统计、金融统计、金融数学研究,E-mail:zyweimath@163.com；罗云峰(1991—)，男，四川巴中人，硕士研究生，主要从事金融统计与数据分析相关研究。

魏正元，罗云峰，余德英，等.基于已实现NGARCH模型的上证50指数的风险度量[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(5):180-185.

format：WEI Zheng-yuan, LUO Yun-feng, YU De-ying, et al.Measure of Risk for SSE 50 Index Based on Realized NGARCH Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):180-185.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.030

O21

A

1674-8425(2017)05-0180-06