对两相切球脱离速度的深度探究

马 辉 王金聚

(1. 江苏省丰县中学,江苏 丰县 221700; 2. 浙江省温州中学，浙江 温州 325000)



对两相切球脱离速度的深度探究

马 辉1王金聚2

(1. 江苏省丰县中学,江苏 丰县 221700; 2. 浙江省温州中学，浙江 温州 325000)

本文将数学知识与物理规律相结合,对两相切球的脱离速度的大小,作了深入细致的剖析．

相切球； 脱离速度； 满足条件

1 矛盾呈现

我们先来看如下一道填空题:

图1

例.如图1所示,一半径为r=1m的小球,放在一固定的大球的正上方．小球球心为O1,大球球心为O2,大球半径R=2m．已知重力加速度为g=10m/s2,若小球获得一水平向右v0=5m/s的初速度,则小球将________脱离大球．(填“瞬间”或“沿大球下滑一段距离后”)．

有人给出了如下的解法:

辨析:上述解答正确与否?我们不妨在小球上具体取一点来看一看．

如图2所示,设两球相切于O点,以O为原点建立xOy坐标系,x轴正方向水平向右,y轴

图2

小球与xOy平面的交线为一小圆,我们不妨在该小圆上取一点P,使连线O1P与竖直方向成θ=30°角,则P点的坐标可写为P(-rsinθ,rcosθ-r)．假如小球一出发就能与大球分离,则小球将做平抛运动．如果经t=0.2s的时间,P点的位置坐标又会变为多少呢?

因小球在水平方向做匀速运动,所以P点的横坐标应为xP=-rsinθ+v0t=(-1×0.5+5×0.2)m=0.5m;竖直方向做自由落体运动,所以其纵坐标应为

当x=xP=0.5m时,对应的下面的大球球面上的纵坐标y又为多大呢?

如图2所示．

可知y1

图3

2 矛盾解析

(1)

(2)

图4

3 原题再探

图5

既然出发时两球未能脱离,说明小球在大球表面滑行了一段距离才能脱离,那么,这个脱离的位置在哪里呢?

如图5所示,设小球滑至二球心连线O1O2与竖直方向成θ角时开始脱离,脱离时小球对大球恰无压力,由向心力公式得

(3)

由机械能守恒定律得

(4)

联立(3)、(4)式可解得

所以θ≈19.2°,即小球沿大球表面滑至二球心连线与竖直方向成19.2°处时二者始分离．

4 结论

2017-02-23)