光滑抛物面中细杆平衡问题的研究

陈玉奇

(江苏省姜堰中等专业学校,江苏 泰州 225500)



光滑抛物面中细杆平衡问题的研究

陈玉奇

(江苏省姜堰中等专业学校,江苏 泰州 225500)

利用力学知识结合数学推导,得出了均质细杆在光滑抛物面中的平衡条件和平衡位置,并对细杆的稳定平衡位置进行了较为详细的证明．

抛物线; 均质细杆; 稳定平衡

抛物线是一种非常重要的圆锥曲线,很多资料对抛物线的几何性质及应用的研究已经达到了相当完美的程度,但是抛物线的力学性质对我们来讲却比较陌生．如一根均质细杆放置于光滑抛物面内,其受力情况如何?杆的平衡位置有何特点?本文将对此进行分析研究．

1 细杆在抛物面中的平衡条件及位置的分析

图1

将一根长为L的均质细杆AB放入光滑抛物面内,如图1,现分析细杆的受力情况．

设抛物面的轴截面方程为x2=2py,式中p为抛物线的焦准距,且p>0,并设细杆只在这条抛物线内运动;细杆AB所在的直线方程为y=kx+b;细杆AB与抛物线的两个交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)．

细杆AB的受力情况如图1所示,该细杆受A、B两处的弹力和自身的重力而平衡,根据三力汇交原理可知,杆平衡时,弹力N1、N2和重力G的作用线必相交于一点,记为D．

A点和B点的切线斜率分别为

所以AD所在的直线方程为

(1)

BD所在的直线方程为

(2)

联立(1)、(2)式得两直线交点D的横坐标为

(3)

由前面分析可知,细杆中点的横坐标与xD相等,即

(4)

pk=2kb.

(5)

可知(5)式成立是细杆受力平衡的充要条件．

具体有以下几种情况.

(1)k=0,(5)式恒成立,与L无关,即细杆水平放置,必然平衡．

(2)k→∞,细杆直立于抛物线顶点竖直放置,只受二力而平衡．

又因为

(6)

运用韦达定理可求得

代入(6)式,有

(7)

综合以上分析可知:

(1) 当L≤2p时,细杆只有两个平衡位置,即k=0时细杆水平放置(该处是稳定平衡位置,且当L=2p时,细杆过抛物线焦点);k→∞时细杆竖直放置．

2 稳定平衡位置的证明

设细杆的质量为m,以抛物线顶点为势能零点,则杆的势能为

(8)

(9)

系统势能在稳定平衡的平衡位置处有极小值.

(1) 当k→∞时,细杆直立于抛物线顶点是不稳定平衡,不必讨论．

(2) 当k不趋于∞时,将(9)式中的V对k求导得

分析可得以下几种情况:

(10)

图2

由以上分析可知,当L≤2p时,细杆只有两个平衡位置,其中k=0(水平放置)是稳定平衡位置,k→∞(竖直放置)是不稳定平衡位置．

图3

3 用抛物线的光学性质证明细杆的平衡特点

由抛物线的光学性质可知，从抛物线焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物线的对称轴．

我们可将细杆看成经过抛物线焦点的光线,此时应有L≥2p．

图4

如图4,设AC、BE是过A、B两点且与y轴平行的直线,可视为反射光线．由光的反射定律可知,AD、BD分别是∠CAB和∠EBA的角平分线,而AC∥BE,则可知∠DAB+∠DBA=90°,从而∠ADB=90°,△ADB为直角三角形．

过D点作DF平行于y轴,与AB交于F点,可证得∠ADF=∠DAF,∠FDB=∠DBF,从而AF=FD=FB,故F是直角三角形ADB斜边AB上的中点(AB的重心),即细杆在A、B两处所受弹力的作用线和自身重力的作用线交于点D．由三力汇交原理可知,细杆此时处于平衡状态．

由此可得,细杆只要过抛物线焦点倾斜放置必然平衡,且该位置还是稳定平衡位置．

4 结论

将一根长为L的均质细杆放入开口向上的光滑抛物面内,设细杆只在过轴截面的抛物线内运动，杆的平衡情况如下.

(1) 如果细杆的长度L小于或等于抛物线的通径,即L≤2p时,细杆只有两个平衡位置,即k=0时细杆水平放置,该处是稳定平衡位置,且当L=2p时细杆过抛物线焦点;k→∞时细杆竖直放置,但不是稳定平衡位置．

2016-12-12)