利用“特征”构造函数解决与导数相关的问题

广西壮族自治区梧州市苍梧县苍梧中学 黄章盛

2017年高考复习已经到了关键时段，回首前段的复习与测试，不难发现，利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性极值和最值来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。其解题技巧是构造辅助函数。如何根据题设的结构特征构造一个函数呢？以下笔者主要就利用题设及求证的“特征”构造函数解决问题举例与读者共勉。

一、从所证结论特征出发，换元构造

【例1】 证明：对任意的正整数n，不等式都成立。

分析：从所证结构特征出发，只需令则问题转化为：当x>0时，恒有ln(x+1 )>x2−x3成立，后是要构造函数h(x)=x3−x2+l n(x+1),求导即可达到证明。

【警示启迪】我们知道，当F(x)在[a,b]上单调递增，则x>a时，有F(x)>F(a)．如果f(a)＝φ（a），要证明当x>a时，f(x)>φ（x），那么，只要令F(x)=f(x)-φ（x），就可以利用F(x)的单调增性来推导．也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明F‵(x)>0即可。

二、从所证结论特征出发，对数构造

【例2】：证明当x> 0 时 ,

分析：即两边取对数，化归为一般常见的函数导数的应用。

三、从所证结论特征出发，形似构造

【例3】：证明当b>a>e,证明ab>ba

分析：即两边取对数后归类整理成形似函数来解决,构造函数G（x)=lnx/x

变式：已知m、n都是正整数，且1( 1+n)m

四、从所证的题设特征出发，利用运算特征构造

1）已知关系式为“加”型：xf'(x)+f(x) ≥0构造[xf(x) ]'=xf'(x)+f(x)

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：af(a)>bf(b).

分析：主要依据xf′(x)>－f(x)特点构造函数，令G（x)=x•f(x)

【警示启迪】由条件移项后xf′(x)>+f(x)，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x)=xf(x)，求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf′(x)>f(x)，则移项后xf′(x)>－f(x)，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

变式：已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，若则下列关于a,b,c的大小关系正确的是（ ）

A.a>b>cB.a > c > b C. c > b >aD.b>a>c

2）已知关系式为“加”型：xf'(x)+nf(x) ≥0构造[xnf(x) ]'=xnf'(x)+nxn−1f(x)=xn−1[xf'(x)+nf(x)]

例5：设函数f(x)在R上的导函数为，且2f(x)+xf'(x) >x2，下面的不等式在R内恒成立的是（ ）

A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)

分析：主要依据2f(x)+xf'(x) >x2特点构造函数，令G（x)=x2•f(x)

3）已知关系式为“加”型：f'(x)g(x)+f(x)g'(x) < 0构造[f(x).g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)'

例6：设f(x)、g(x)是R上的可导函数，

f'(x) 、g'(x)分别为f(x) 、g(x)的导函数，且

分析：主要依据f'(x)g(x)+f(x)g'(x) < 0特点构造函数，令G（x)=f(x)•g(x)

变式1：设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x)+f(x)g'(x) < 0，g(−3 )=0，求不等式f(x)g(x) < 0的解集。

变式2：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x) > 0，g(−3 )=0，求不等式

f(x)g(x) < 0的解集。

4）已知关系式为“加”型：f'(x)+f(x) ≥0构造[exf(x) ]'=ex[f'(x)+f(x)]

例7：设f(x)是R上的可导函数，且f'(x) ≥−f(x)，f(0)=1，求f(1)的值。

分析：主要依据f'(x) ≥−f(x)特点构造函数，令G（x)=exf(x)

变式.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f′(x) > 1 ,f(0)=4,则不等式exf(x) >ex+3

（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）

5）已知关系式为“减”型：f(x)'g(x)-f(x)g(x)'<0 构造[f(x)/.g(x)]'=（f(x)'g(x)-f(x)g(x)'）/g2(x)

例8：已知定义在R上的函数满足f(x) 、g(x)且f'(x)g(x)

分析：主要依据f'(x)g(x)

变式1：已知定义在R上的函数f(x) 、g(x)满 足且f'(x)g(x) 1的解集。

变式2．定义在上的函数f(x),f'(x)是它的导函数，且恒有f(x)

6）已知关系式为“减”型：f'(x)−f(x) ≥0构造

例9：已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)

分析：主要依据f(x)

变式1.已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x) >f′(x)，则有（ ）

变式2．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x) >f(x)恒成立，若x1

7）已知关系式为“减”型：xf'(x)−nf(x) ≥0构造

例10：已知f(x)的导函数为f'(x)，当x>0时，2f(x) >xf'(x)，且f(1)=1，若存在x∈R+，使f(x)=x2，求x的值

分析：主要依据2f(x) >xf'(x)特点构造函数，令G（x)=f(X)/X2

8）已知关系式为“减”型 ：xf'(x)−f(x) ≥0（<0）构 造

例11、f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′(x)−f(x)≤0，对任意正

数a、b，若a

（A）af(b)≤bf(a) （B）bf(a)≤af(b) （C）af(a)≤f(b)（D）bf(b)≤f(a)

分析：主要依据xf′(x)−f(x)≤0特点构造函数，令

9）已知为其它型，则依据条件及所求特征灵活构造。

总之，利用“特征”合理构造函数是解决导数问题的关键。有时简单的构造函数会带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，所以要合理且恰到好处的构造，重在切入合理，观察特征入微，恰到好处的利用题目信息，找到解题的突破口。如此笔者认为要做好：观察体微，恰到好处的利用题目信息；要抓住问题的实质，化简函数；抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题；最主要利用“特征”，通过适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口，使问题简单化明确化，要用联系的观点找突破破口，切记望而生畏，盲目乱幢。