“数学物理方程”教与学实践探讨

魏龙+王阳

【摘要】作者一直从事本科生的数学物理方程和研究生的偏微分方程教学工作，针对不同层次的教学对象和偏微分方程中的相关知识及其延续，在工作中不断予以比较、调整和总结，希望对“数学物理方程”的教与学做一些深入探讨，以期在本学科的学习上对教师的教和学生的学有所帮助.

【关键词】数学物理方程；偏微分方程；实践教学；教学效果

一、引言

“数学物理方程”是数学专业，特别是应用数学专业学生的一门重要的应用基础课程，是一门实践性很强的课程.它以具有物理背景的偏微分方程作为研究的主要对象，着重于培养学生运用数学基础理论和方法解决实际问题的能力，是纯粹数学的许多分支和自然科学各部分及工程技术领域之间的一座重要的桥梁.本课程的教学目的，是使学生了解建立数学模型和利用所建立的数学模型解决实际问题的一般过程和步骤，掌握求解偏微分方程定解问题的几种常用方法，会对具体问题或所得结论做一些简单的定性分析，從而提高学生分析问题和解决实际问题的能力.因此，学好这一学科是十分重要的.

二、教学现状

当前，在国家推进大众化高等教育的总体形势下，高等教育已由精英教育转为大众教育，生源质量有所下滑，学生自身能力、个人素养与社会职业需求形成较大差距.面对全新的教育对象，传统教学模式存在诸多问题：

1.教学过程单向性.在整个教学过程中，通常教学方式仍然是满堂灌，教师紧赶慢赶按照教学大纲讲完内容，基本就没有让学生发挥的时间和空间.

2.教学手段单一.由于“数学物理方程”理论性较强，计算量较大，教师往往只注重讲授，而没有采取多样的教学手段来激发学生的学习兴趣、调动学生学习的主动性.

3.课程本身重点、难点较多，学生难以掌握，易失去学习兴趣.本课程中的计算量较大，教师在授课时往往偏重计算而忽略了其中的数学思想，使得学生学习该课程比较吃力，听课学生较少，效果不佳.

4.部分内容缺少针对性.许多教材由于编写时间较久，部分内容较为宽泛而缺少针对性.

三、改善方法

鉴于现有教学条件的限制，全面开展讨论班教学方式基本不现实，但可以适当缩减教师的授课时间，增加学生自主学习、提问、讨论的时间以达到教学相长的目的.针对“数学物理方程”这门课的特点，提高课程教学质量，促进学生的自主学习，我们拟主要从以下几个方面探讨“数学物理方程”的教与学.

1.就教学内容来说，突出数学模型的建立、物理意义、数学基本原理和方法.

在研究一些物理问题时，我们不妨先从简单问题入手，抓住贯穿其中的数学思想和方法，然后将复杂问题转化成简单问题求解.如，在讲解无界区域的弦振动问题时，我们从一维问题入手，引入适当的变量变换，将方程转化为简单方程求解；对于高维问题，我们采取类似的思想，将问题转化为一维问题再求解.在求解过程中，尽量突出和体现化繁为简的思想，让学生看到抽象的数学思想在解决实际问题中的作用，从而产生一定的学习兴趣.如，在讲解稳态方程解的唯一性时，除了采用教材上介绍的极值原理之外，教师可适当引入变分方法，简单介绍无约束变分的思想方法，利于学生进一步学习相关的理论知识.

2.就教学手段和方法来说，适当调整和采用不同的教学方法，增加实践教学环节，注重数学理论与工程应用相结合.教师在授课时除了采用讲授法，还可以结合启发式、探究式、讨论式、参与式教学方法.例如，在熟练掌握求解弦振动方程初边值问题的分离变量法之后，教师给学生布置课外作业：以几名学生为小组，讨论如何利用分离变量法的思想，求解热传导方程初边值问题，并在后继课堂上随机抽取学生到讲台上讲解.在学生讲解过程中，教师应给予适当的鼓励和引导，并指出、分析所出现的问题，使学生真正掌握所学知识.

3.就学生的学习来说，在打下扎实的计算基础上，注重分析问题的数学思想，掌握数学问题解决的方法，并能运用所学知识解决实际问题.学习“数学物理方程”，最重要的一点是要能从整体上把握我们要学习的内容和方法，从整体层面上掌握知识的脉络.同时，该课程中有大量的基本数学计算，学生应理解和掌握细节的推导，进一步领略“数学物理方程”这门课程的独特魅力——通过计算揭示许多没有很强，甚至没有直观的问题的本质.

4.提供优质教学资源，改革考核方式.教师在授课前，需要做好充分的准备，不仅对教学内容能够熟练地把握，还要对学生有充分的了解，针对不同的学生层次提供不同的学习资源，包括授课课件、补充材料、适当的参考资料等.在考核上，除了基本的期末考试之外，教师可以鼓励学生及时总结学习心得和成果，利用自己所学的知识提出问题、建立数学模型进而解决问题，或者引导和鼓励学生进一步学习相关知识、写相关的小论文等.

四、小结

本文通过广泛深入的调研、讨论、学习，分析当前教学存在的若干问题，提出本课程的实践教学改革方案.希望通过该课程的教学改革，提高学生自主学习、理论联系实际、分析和解决问题的能力，促进学生综合素质的全面发展，对提高课程的教学效果与教学质量具有重要意义.

【参考文献】

[1]谷超豪，李大潜，陈恕行，郑宋穆，谭永基.数学物理方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]刁元胜，姚仰新.数学物理方法[M].广州：华南理工大学出版社，2004.