一次青年教师解题比赛中的解题思考

于彬，王师森

（山东省东营市胜利第六中学）

一次青年教师解题比赛中的解题思考

于彬，王师森

（山东省东营市胜利第六中学）

解题能力是青年教师必须具备的核心能力之一，必须引起青年教师和学校的足够重视.文章对一次青年教师解题比赛进行简单介绍.首先，给出题目的具体分析、求解和求证过程；其次，结合题目本身和解题比赛活动给出几点思考.

青年教师；解题比赛；深层结构；阅读资料；辅助线

青年教师是学校发展的后备力量，笔者所在学校特别重视青年教师的培养工作，为青年教师量身打造了一系列的教研活动.例如，为了提高青年教师的解题能力，学校以区域教研组为依托，于2015年暑假期间开展了青年教师说题比赛.在此基础上，学校又以校级教研组为依托，于2016年4月开展了首届青年教师解题比赛.

解题比赛采取“一题一赛”的形式，题目主要选择相关地区中考试题主观题的压轴题，此次比赛选择了2014年山东省日照市的一道中考试题.一是因为该题基本考查了整个初中几何学习阶段的核心知识；二是为了突出比赛的公平性（大多数参赛的青年教师都以2015年中考试题进行了相关练习）.整个比赛时长共计30分钟，评价标准分为三个等次：较低标准为能够对题目进行简单的分析，在此基础上至少给出一种题目的解答或求证过程，要求必须正确；一般标准为在较低标准的基础上能够进行“一题多解”；较高标准为在“一题多解”的基础上进行“多解归一”，或挖掘题目的“深层结构”，最好针对课堂教学能够给出一个或多个变式练习.笔者有幸参加了此次比赛活动，下面首先，给出题目的具体分析、求解和求证过程；其次，结合题目本身和解题比赛活动给出几点思考.

一、题目呈现

阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了圆的有关切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题.

如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC于点P，连接AC，BC，OC.

图1

因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，

所以∠OCP=∠ACB=90°∙.

所以∠1=∠2.

又因为∠B=∠1，

所以∠B=∠2.

在△PAC与△PCB中，又因为∠P=∠P，

所以△PAC∽△PCB.

即PC2=PA∙PB.

问题拓展：

（1）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2），等式PC2=PA∙PB还成立吗？试证明你的结论.

图2

图3

（2）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交切线PC于点P.

①当AB=PA，且PC=12时，求PA的值；

二、解法探究

1.读懂资料是关键

随着《义务教育数学课程标准（2011年版）》的实施，中考试题中阅读资料的题目越来越多了，解决此类问题的关键应该还是读懂资料，包括资料所给出的结论和资料叙述过程中所揭示的数学思想、方法等；在此基础上，结合所要解决的问题的结论，搜索相关的解题经验和方法，进而顺利解决问题.此题第（1）小题是题目所给阅读资料的推广，体现了由特殊到一般的探究过程.在求解过程中可以利用阅读材料中所揭示的思想和方法，如添加辅助线的方式等来求解（方法1）；也可以直接利用阅读资料中所给出的结论，当然需要类比教材中“圆周角和圆心角的数量关系”这一定理的证明过程（方法2和方法3）.下面给出第（1）小题的解答过程.

方法1：如图4，连接AC，BC，并延长CO交⊙O于点D，连接AD.

因为CD为⊙O的直径，

所以∠DCA+∠CDA=90°∙.

又因为PC是⊙O的切线，

所以∠DCA+∠ACP=90°∙.

所以∠CDA=∠ACP.

在⊙O中，易得∠CDA=∠CBP.

所以∠CBP=∠ACP.

在△PAC与△PCB中，又因为∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB.

即PC2=PA∙PB.

图4

图5

方法2：如图5，连接PO交⊙O于点D，延长PO交⊙O于另一点E，连接AE，BD.

由阅读资料，可得PC2=PD∙PE.

在⊙O中，易得∠PEA=∠PBD.

在△PEA与△PBD中，又因为∠APE=∠DPB，

所以△PEA∽△PBD.

所以PD∙PE=PA∙PB.

所以有PC2=PA∙PB.

方法3：如图6，连接PO交⊙O于点D，延长PO交⊙O于另一点E，连接AD，BE.

由阅读资料，可得

PC2=PD∙PE.

在⊙O中，易得

∠BED+∠BAD=180°∙.

图6

又因为∠PAD+∠BAD=180∙°，

所以∠BED=∠PAD，

即∠PEB=∠PAD.

在△PEB与△PAD中，又因为∠EPB=∠APD，

所以△PEB∽△PAD.

所以PD∙PE=PA∙PB.

所以有PC2=PA∙PB.

2.灵活转化是保证

第（2）小题第①问比较简单，限于篇幅不再赘述.第（2）小题第②问的证明，笔者感觉需要从结论入手，先根据已知条件将所要证明的结论进行灵活转化，进而渐近问题的本质.利用条件PC2=PA∙PB将所要证明的结论转化为，要证明转化后的这个结论，要么将比例式中所出现的线段放在一对三角形中，寻找条件证明这一对三角形是相似的；要么需要去寻找一个中间桥梁，将等号两端联系起来.显然，这个问题的解决需要利用后者，这就增加了解决问题的难度.

此外，解决问题的另一个难点是添加辅助线，构造相似的基本图形，显然方法比较多.例如，将点A作为PA，PB的分点，构造A型图，另外一组是X型图（方法1）；将点A作为PA，PB的分点，构造A型图，另外一组也是A型图（方法2）；方法3也是以PA，PB为基础构造A型图；方法4则是以AE，CE为基础构造X型图.下面给出第（2）小题第②问的解答过程.

方法1：如图7，过点A作BC的平行线交PD于点F，

因为D是BC的中点，所以BD=CD.

图7

图8

方法2：如图8，过点A作PD的平行线交BC于点F，

下同方法1，略.

方法3：如图9，过点B作AE的平行线交PD的延长线于点F，

又因为D是BC的中点，

所以BD=CD.

所以△BDF≌△CDE.

所以BF=CE.

图9

图10

方法4：如图10，过点C作PB的平行线交PD的延长线于点F，

又因为D是BC的中点，

所以BD=CD.

所以△FCD≌△PBD.

所以CF=PB.

3.挖掘“深层结构”

下面按照比赛要求给出题目的“深层结构”.

通过上面的求解和证明可以看出，题目中的“圆”只在一处发挥了作用，那就是证明了∠CBP= ∠ACP（如第（1）小题的方法1），除此之外基本没有再发挥其他作用，因此可以将圆隐去，将∠CBP=∠ACP以已知条件的形式给出，改编如下.

图11

如图11，PD是△PBC边BC上的中线，点A是边PB上的任意一点，且满足∠B=∠ACP，PD交AC于点E，证明：

（1）PC2=PA∙PB；

4.给出“变式练习”

下面按照比赛要求，结合题目的“深层结构”，给出一个比较常见的变式练习.

如图12，PD是△PBC中∠BPC的平分线，点A是边PB上的任意一点，且满足∠B=∠ACP，PD交AC于点E，证明：

（1）CD=CE；

（2）CE2=BD∙AE.

图12

三、几点思考

可以看出，上述试题难度较大，不要说是学生，在解题比赛的过程中，部分教师都很难在30分钟内贯通思路，该题几乎考查了整个初中阶段平面几何的核心知识.例如，圆的基本性质、相似三角形的判定和性质等，同时还着重考查了逻辑思维能力，体现了压轴题的选拔功能.

1.阅读资料——结论和过程并重

通过上述第（1）小题的求解过程可以看出该题给出了两种阅读资料题的求解策略：一种是直接利用资料给出的结论（显性的）解决相关问题；一种是利用资料中暗含的思想和方法（隐性的）解决相关问题.对于这道题目而言，两种方法都收到了良好的效果，都可以顺利解决相关问题.

阅读资料题是一种新的中考命题趋势，在教学过程中应该引起教师的足够重视，这就要求我们一线教师在教学过程中首先要引导学生学会阅读数学教材，课堂中把更多的时间留给学生，而不是“满堂灌”，更不应该将教材完全束之高阁，实行“导学案”教学，况且现行人教版教材中几乎每一节课后都有“阅读与思考”这一部分内容，可见在数学教学中培养学生的阅读能力，进而在阅读中提取相关信息也是至关重要的.阅读能力的培养，数学学科责无旁贷.

2.辅助线——几何教学的难点

可以看出，上述问题的证明过程都添加了相应的辅助线，那么辅助线是从何而来的，是从天而降的吗？显然不是.一小部分教师在教学过程中往往忽视了这一环节，直接告诉学生如何添加辅助线，根本不讲为什么，导致学生几何证明能力越来越差的同时，自己的水平也越来越差，在比赛过程中不能在规定的时间内贯穿思路.

第（1）小题方法1中的辅助线的添加方式主要来源于阅读资料，方法2和方法3主要是类比了教材中“圆周角和圆心角的数量关系”这一定理的证明方式；第（2）小题第②问主要是通过添加辅助线（作平行线）来构造相似的基本图形——A型图和X型图.

3.解题比赛——台上一分钟，台下十年功

解题能力是青年教师的核心能力之一，必须引起足够的重视.笔者周围的大多数青年教师都能够潜心研究，努力提高自己的解题能力，但是也有少数青年教师对自己不能严格要求，题目来了直接看答案，上课照本宣科，不能给学生揭示问题的思考过程，更有甚者借助于最近网络上比较盛行的“搜题软件”，教师如此，让学生情何以堪？因此，作为青年教师的我们应该在教学过程中坚决抵制上述行为的发生，同时努力提高自己的解题能力，积极参加学校和各级教研组织开展的各种教研活动.例如，说题比赛和解题比赛等.

上述三点思考，前两点是结合题目本身给出的，第三点是结合解题比赛这次活动给出的，不当之处，敬请各位专家和同行批评指正.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］蔡卫兵.2015年浙江省宁波卷第26题解法探究及反思［J］.中国数学教育（初中版），2016（6）：54-57.

2017—03—18

东营市教育科学“十二五”规划课题——“反思性课堂教学模式”下中学作业改革的研究与实践（125DYJG195）；东营市教育科学“十二五”规划课题——“导学·反思”和谐高效课堂教学的实践与研究（125DYJG210）.

于彬（1984—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究.