基于知识结构生成方法思想——以“三角形相似判定方法的回顾”复习课为例

郑伟君，周斌

（浙江省舟山市南海实验学校；浙江省岱山县初级中学）

基于知识结构生成方法思想
——以“三角形相似判定方法的回顾”复习课为例

郑伟君，周斌

（浙江省舟山市南海实验学校；浙江省岱山县初级中学）

中考数学复习课应该以构建学生的知识结构为起始点，从解题教学过程中提炼方法，进而适当渗透数学思想.以具体案例为基础，提出复习课设计要“基于知识结构，生成方法思想”这一特点，从而构建优质课堂，促进有效复习.

知识结构；相似三角形；思想方法

中考复习阶段，复习课作为初中数学教学的重头戏，不仅要让学生复习、巩固数学基础知识，还要强化知识的延伸和拓展，注重学生数学思维能力的培养.基于此，初三的中考复习课如何科学合理地设计教学，构建优质课堂，促进有效复习，提升课堂效益，一直是教师最关注的问题.

课堂的教学效益来自学生的思维活动.复习课要充分体现“以学生发展为本”的教学理念，教师要通过问题设计，使学生形成系统的知识结构，提炼数学方法，感悟数学思想，形成良好的思维.不久前，在“以学为中心”理念下中考数学复习课教学活动中，有幸听取浙派名师省特级教师郑伟君老师的一堂以浙教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第四章第4节“三角形相似判定方法的回顾”，与郑老师交流讨论后，现将案例和一些想法整理成文，与同行交流.

一、课例简录

活动1：从基本图形到判定方法的回顾

问题1：如图1，在△ABC的边AB所在的直线上取一点D，过点D画直线与边AC或它的延长线交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，你有几种画法？并说明理由.

图1

师生行为生成：对于问题1，由于分类多，学生不易答全，教师留给学生充分的时间思考，让学生通过小组交流合作，教师巡视倾听学生的想法，适当指导，然后让学生各小组展示成果，教师点评，同时辅以多媒体动态演示，最后总结归纳，达成共识，加强几何直观，自然发现相似三角形基本图形.

【设计意图】问题1以作图题形式出现，目的是复习学生对相似三角形基本图形的认识和分类能力.在解决相似三角形问题时，常常需要学生发现复杂图形中的基本图形.教师让学生通过小组讨论、交流，学生通过对问题1的解决，强化相似三角形基本图形模式的识别，让学生掌握相似图形的变式，现归类如下.

（1）平行线型.

如图2所示.

图2

（2）相交线型.

如图3所示.

图3

问题2：如果我们把三角形放在网格中，如图4所示.在正方形网格中，三角形为格点三角形.

（1）△ABC是否与△HIJ相似？理由是什么？

（2）△ABC是否与△DEF相似？理由是什么？

图4

师生行为生成：对于问题2，教师引导学生从“两边对应成比例且夹角相等”和“三边对应成比例”复习判定入手，让学生体会格点图形的作用，并谈谈格点中可以利用的特殊角，边长的数量化的特点，从而为三角形相似创造条件.

【设计意图】问题2帮助学生理解在特殊图形——格点图形中，相似三角形判定的常用方法，学生能根据题目的条件灵活选用适当的方法解决问题.通过对2个问题的认识，归纳梳理相似三角形的基本图形和判定方法，复习基础知识，从而形成知识结构.

活动2：从复杂图形结构中寻找解题方法

图5

问题3：如图5，在正△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，AE=BE，CD=2AD，哪对三角形相似？说明理由.

师生行为生成：在这个问题中，部分学生存在困难，教师因B势利导，强调学生直觉观察，寻找条件，尝试证明，及时让学生总结解题方法，积累解题经验.

【设计意图】有了活动1的经验，问题3把相似三角形图形放在正三角形背景中，要求学生通过观察、推理，学会分解复杂图形，从图形中提炼出两种相似基本图形，是对前一板块内容的进一步深化.

变式1：如图6，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a，OB=OC=OD= 1，则a=______．

图6

师生行为生成：学生充分思考，教师适时点拨，启发引导.你能发现相似三角形的基本图形吗？菱形为相似提供什么条件？与问题3的不同点是什么？共同点又是什么？接下来教师归纳解法，揭示本质.

【设计意图】设计变式1是把相似三角形放在菱形背景中，不断变化相似图式，让学生观察这个图形，再综合可以得到哪两个三角形相似？然后利用相似三角形对应边成比例，建立已知线段和所求线段的方程求解.

变式2：如图7，ABCD是3×1的矩形，求证：∠EAF+∠EAC=45°.

图7

师生行为生成：教师观察学生的解题活动并指导，让学生充分发表对此问题的见解，暴露他们的思维，注意对格点图形的再认识.

【设计意图】变式2是相似三角形的一个经典应用，本质还是相似三角形基本图形的认识，只不过正方形网格对角线提供了45°角的模型.从这一连串变式问题解决的过程中，学生经历了辨析图形，直觉思维，提炼出基本方法，万变不离其宗，关键是在复杂图形中抽出相似的基本图形.

活动3：在拓展提高中体会思想

图8

问题4：如图8，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．

（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；

师生行为生成：这里教师重点把握学生提出的问题，关注学生对这个问题的困难点.若学生找不到相似三角形，让学生回忆上个解题活动中的方法，分解基本图形，分析解题策略，逐步分散难点.

【设计意图】问题4是综合性较强的题目，图形上把三对相似三角形叠加在一起，需要学生对图形分解、简化，知识上考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质等应用，需要学生综合运用知识和一定的解题策略.

问题5：如图9，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，D 是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°.

（1）求证：△ABD∽△DCE；

图9

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长.

师生行为生成：在此问题中，教师可以先让学生寻找等角，从中发现“一线三等角”模型中的相似三角形，便可顺利解决第（1）（2）小题.第（3）小题中，教师可这样设问：看到条件，同学们能想到什么数学思想？这样很自然地把数形结合的思想渗透到问题教学中.围绕这个问题，师生以谈话、交流的方式，让学生感悟数学思想.

【设计意图】问题5把三角形相似放在“一线三等角”图形中.因此，解决此题，需要提炼一个“一线三等角”模型，同时和函数知识综合在一起，渗透了数学模型化、函数、分类讨论等数学思想，这样设计不仅串联起主干知识和技能的综合，更为重要的是兼顾数学思想的渗透.

活动4：分享收获

略.

二、对复习课的几点思考

1.复习课设计要把知识点形成链条

复习课一个重要目的是提高学生的解题能力.能力的形成是以知识为依托，我们平常强调的基础知识是形成解题能力的“物质基础”.一般地，七、八年级的学生知识点比较零散，九年级复习就是把相对零散的知识串联起来，形成有机的知识链，或构建完整的知识网络.

在本节课的设计中，通过在基本图形中回顾相似三角形判定的方法，把相似三角形判定的4种方法在两个小问题中串联起来，水到渠成，不仅强化学生基本图形的识别能力，更把四种判定方法之间的联系，以及相互依存的逻辑，形成完整的结构，这样使得学生大脑中的信息在遇到类似问题时更容易被激活.

2.复习课设计要重视方法的形成和优化

数学教学离不开解题教学活动，解题教学更是复习课的一个核心内容.教材中的例题常可推广到一般情形，而形成相对固定的解题模式和方法.因此，教师在复习课设计时，要重视方法的归纳，通过一道题的教学，达到学生懂一类、解一片的效果，使学生遇到相似问题时，能主动搜索解决问题的方法，达到解决问题的目的.

本节课中，第二环节的问题和变式练习都是围绕“在复杂图形中抽出相似三角形的基本图形”这一方法展开.问题和变式的设计把相似三角形放在正三角形、菱形和正方形等不同背景中，通过这类题的集中展示，让学生感悟解决问题的通性、通法，有效提高举一反三、触类旁通的能力.

3.复习课设计要关注数学思想的渗透

布鲁纳指出，数学思想是通向迁移的“光明大道”.由于数学思想的存在，才使数学知识不再是孤立的单点，使得数学解题不再是刻板的套路.所以在中考复习课中最好设计拓展提高题，以综合运用知识的问题为主，适当渗透重要的数学思想方法，让学生在探究综合问题中，感悟数学思想，提升数学能力.

本节课设计的拓展提高题，以数学思想为核心，融合知识与方法，适时渗透数学思想.数学复习课是使学生掌握数学思想难得的教学过程，教师应该对此有清晰的认识，在复习课中养成把常规思路形成思想方法的习惯，日积月累，学生对数学思想的领悟才能逐渐到位.

总之，复习课教学中，课堂呈现给学生一个什么样的知识结构，是由教师对课例的设计教学观决定的.对于本节复习课，一方面，教师要关注相似三角形的基本图形的变式结构，加强学生对基本图形的识别；另一方面，从相似三角形的定义、判定，以及应用等知识网络交会处，重视知识的综合运用，提高学生的解题能力.

为此，本课活动从问题1的解决出发，引出相似三角形的基本图形“平行相似”“相交相似”等图形结构，突出相似的结构，然后通过一连串的变式问题，从相似问题图形的背景变化的关联性中提炼解题方法，实现从知识到方法的提升，再到最后拓展延伸，渗透相似三角形中蕴涵的数学思想，这样的复习价值不仅在于让学生主动建构知识结构，并且在过程中有效训练思维，进而发展学生的数学能力.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］芮玉贵.模式识别解题理论探讨［J］.数学通报，2010（3）：46-47.

［4］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

［5］周斌.让数学模型活跃起来［J］.数学教学，2016（2）：32-34.

2017—03—26

郑伟君（1962—），男，中学高级教师，浙江省特级教师，省中学数学研究会理事，主要从事数学教育教学及中考命题研究.