外显活动氛围内蕴数学思维——2016年浙江省湖州市中考压轴题的赏析、变式与拓展

王强强

（浙江省湖州市第四中学教育集团）

外显活动氛围内蕴数学思维
——2016年浙江省湖州市中考压轴题的赏析、变式与拓展

王强强

（浙江省湖州市第四中学教育集团）

整道试题构建了一个数学活动课的虚拟场景，通过直角三角板的旋转，引导学生进行思考与提炼，从三角形全等到三角形相似，再到构造直角三角形相似，体会在尝试、类比中解决问题的过程.通过解法探究与变式，将问题不断深入，发现其中最本质的变化规律，挖掘蕴含在其中的几何特性及数量关系.在观察、操作、实践体验的基础上进行综合推理论证，有着很好的教学导向作用，以及问题解决的基本套路．

数学活动；数学思维；虚拟教学

一、试题及其赏析

题目（2016年浙江·湖州卷）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的ABCD（∠BAD= 120°）进行探究：将一块含60°角的直角三角板如图1所示放置在ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两条直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）.

（1）初步尝试.

如图1（1），若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF；②AE+AF=AC.

（2）类比发现.

如图1（2），若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH.

（3）深入探究.

图1

1.试题解答

解：（1）①由于四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD=120°，

于是∠D=∠B=60°.

因为AD=AB，

于是△ABC和△ACD均为正三角形.

故∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC.

由已知，得∠ECF=60°.

于是∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°.

所以∠BCE=∠ACF.

故△BCE≌△ACF（ASA）.②由于△BCE≌△ACF，

于是BE=AF.

故AE+AF=AE+BE=AB=AC.

（2）设DH=x，

于是AD=2AB=4x，AH=AD-DH=3x.

因为CH⊥AD，

所以AC2+CD2=AD2.

故∠ACD=90°.

得到∠BAC=∠ACD=90°，∠CAD=30°.

于是∠ACH=60°.

由已知，得∠ECF=60°.

于是∠HCF+∠ACF=∠ACE+∠ACF.

所以∠HCF=∠ACE.

所以△ACE∽△HCF.

所以AE=2FH.

2.试题赏析

整个试题构建了一个数学活动课的虚拟场景，以学生熟悉的含60°角的直角三角板的旋转为问题展示的切入点（作为试卷的压轴题，以活动方式进行内容描述比起以往纯粹的文字叙述更能符合学生的学习心理），着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、发现探究能力.通过直角三角板的旋转，激活学生探索的意愿，促使学生在模拟“动手操作”的同时能自发地启动“活动思维”，理性地从图形的角度进行思考与提炼，发现其中最本质的变化规律，挖掘蕴含在其中的几何特性及数量关系.

设置的三个问题，难度由浅入深，思维层层递进.第（1）小题重在考查三角形全等的判定及相应线段间存在的数量关系，并由此展开联想，寻找关联，积累数学活动经验，类比推理出第（2）小题中存在的图形的相似，及相应线段间存在的数量关系，意在落实基础知识、基本技能的基础上，寻求突破，体现分层考查，有着很好的考试信度与效度.特别是第（2）小题的类比推理，更是为第（3）小题的深入探究提供了强有力的猜想与提示，再次引导学生运用类比，在特殊中孕育特殊，由AD=AB，到AD=2AB，再到AD=3AB，拓展思考，关联代数计算与几何证明.通过操作活动，强化理解，使整个探究活动一气呵成，又一波三折、跌宕起伏，整个问题解决的思维之路更加自然、更加紧密，“深入探究”才体现出水到渠成之感.三道小题的问题设置，主要是为了体现以知识发生、发展过程为载体的“思维的数学”这一核心任务，又体现“做数学”这一关键过程.

整道试题的三个连续设问，不仅烘托出了平时教学中活动课的课堂学习氛围，复原图形运动型问题规律及其结论的形成过程；更是让学生更加清晰地明确图形变换型问题的研究方法，突出“明道”，即在观察、操作、实践体验的基础上进行综合推理论证，有着很好的教学导向作用，以及问题解决的基本套路.

整道试题，以全新的思路命制，蕴知识技能、思想方法、数学模型于“变化”中，放飞学生思维，让学生感受“形变”的魅力，以“再创造的形式”激发学生主动去挖掘、发现、应用、归纳概括，关注学习和探究的过程，让学生深刻体会到数学课堂中活动性的意义，突出了对学生基本活动经验和探究能力的考查.试题命制凸显对探究性学习的“过程性”评价，充分体现“重视过程性学习”的理念.

二、试题解法探究

1.第（3）小题的解法探究

如图2，过点C作CH⊥AD于点H，CG⊥BA交BA的延长线于点G.

同样设DH=x，

图2

由于AD=3AB，

由于CG⊥BA，AB∥CD，

故CG⊥CD，∠GCH=∠GCD-∠DCH=90°-30°= 60°.

又因为∠ECF=60°，

故∠GCF+∠HCF=∠GCF+∠ECG，

即∠HCF=∠ECG.

所以△ECG∽△FCH.

因为S四边形ABCD=AB·CG=AD·CH，且AD=3AB，

故CG=3CH，EG=3FH.

故AG=BG-AB=3x-2x=x.

根据AE=EG-AG，AH=AF+FH，

得AE+3AF=EG-AG+3AF=3FH-AG+3AF= 3（AF+FH）-AG=3AH-AG，

2.第（3）小题的新解法探究

第（3）小题的解题思路来源于第（2）小题，这样的话，为解法的自然生成提供了必要的猜想与提示，有着很强的延续性.但如果我们没能延续或发现第（2）小题的思维暗示，那该如何深入探究呢？反复地推敲试题题干，“∠ECF始终等于60°”应该是整道试题的“灵魂”与寻求思维突破的关键所在.

如图3，构造∠ACM=60°，点M在线段AD上.

由于∠ECF=60°，

于是不难发现∠ACE=∠MCF.

同时因为∠EAF=∠BAD=120°，

故∠ECF+∠EAF=180°.

进而发现∠AEC+∠AFC=180°.

又因为∠MFC+∠AFC=180°，

所以∠AEC=∠MFC.

图3

于是可得△ACE ∽△MCF.

由于AD=3AB，

根据相似三角形性质“对应高之比等于相似比”，

即AE=3FM.

接下来，我们不难得到△ACM ∽△ADC.

三、试题拓展研究

1.将交点E，F落在相应的直线上

注意到，较短的直角边和斜边所在的两条直线分别交线段AB，AD于点E，F.我们不妨将交点E，F落在相应的直线上.

解：（方法1）如图4（1），将60°角绕着点C旋转，使得点E落在线段AB的延长线上，依然是过点C作CH⊥AD于点H，CG⊥BA交BA的延长线于点G.

同理，可得△ECG ∽△FCH.

同样设DH=x，

根据AE=EG-AG，

图4

如图4（2），将60°角绕点C旋转，使点E在线段BA的延长线上.

其余结论均不变，仍得ECG ∽△FCH，EG=3FH.

此时，唯一的差别在于AE=EG+AG.

此时，AE=EG+AG=3FH+AG，AH=AF-FH.

因此，我们将交点E，F的位置由“在相应的线段上”推广到“直线上”以后，产生的结果是定值的结论有两个，那就是以点E与点G重合，或点F与点H重合为两种状态的分界点，可得或

（方法2）如图5（1），将60°角绕着点C旋转，使得点E落在线段AB的延长线上时，还是构造∠ACM= 60°，点M在线段AD上.

即AE=3FM.

图5

如图5（2），将60°角绕点C旋转，使点E在线段BA的延长线上时，还是构造∠ACM=60°，点M在线段AD上.

2.将试题条件拓展到“AD=nAB”

如图6，仍然构造∠ACM=60°.

仍然可得△ACE∽△MCF.

根据AD=nAB，

图6

即AE=nFM.

接下来，同样得到△ACM∽△ADC.

过点C作CH⊥AD于点H.

同样设DH=x，

经计算，可知AD=nAB=2nx，

继续将60°角绕着点C旋转，使得点E落在线段AB（或BA）的延长线上时，

图7

3.改变直角三角板中60°角的顶点的位置

我们将直角三角板中60°角的顶点放在对角线AC上的任意位置，记∠EQF=60°.

如图8，过点Q作PT∥CD分别交AD，BC于点P，T，作QN∥AD交AB于点N.

图8

根据前面的解题经验，不难发现，▱APQN满足试题的所有条件.

又因为PT∥CD，

其他情形结论也仍然成立.

4.弱化试题条件“∠BAD与∠ECF互补”

我们不妨将条件改为“∠BAD与∠ECF互补”，在其余条件不变的情况下，如图9，作∠ACM=∠ECF，仍然可得△ACE∽△MCF.故结论仍然成立.

图9

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，在经历图形的抽象、分类、性质讨论、运动、位置确定等过程中，掌握图形与几何的基础知识与基本技能；在内容目标中除了提出结果性目标外，还特别提出了过程性目标——“经历”“体验”和“探索”.这就需要我们，在平常的教学实践中切切实实地关注学生学习的体验过程，大力开展“数学活动”，为学生运用所学知识解决问题创造条件.通过“数学活动”的学习，真正让学生经历“由问题的提出，到策略、方案的选择，到实际的操作或具体的求解，直至问题的最后解决”的完整过程，以激发学生的学习兴趣和合作能力，提升他们的数学思维能力，体现数学学习的价值.

［1］罗增儒.学会学解题——写在《数学解题学引论》第4次印刷［J］.中学数学教学参考（教师版），2004（9）：16-18.

［2］钱莉莉，王强强.深挖试题内蕴追求解题价值［J］.中国数学教育（初中版），2012（6）：34-38.

［3］王强强，倪金根.发展学生活动经验优化课堂教学设计［J］.中小学数学，2015（4）：29-32.

［4］黄邦杰，王学先.新课标、新理念、新策略［J］.中国数学教育（初中版），2013（1/2）：7-26.

2017—03—28

王强强（1976—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教育教学、解题教学与命题研究.