研读中考试题提升解题能力——2016年天津市中考压轴题的命题研究与反思

宋春，赵国华

（天津市滨海新区塘沽六中）

研读中考试题提升解题能力
——2016年天津市中考压轴题的命题研究与反思

宋春，赵国华

（天津市滨海新区塘沽六中）

2016年天津市中考第25题以二次函数为载体展开，以求点的坐标为桥梁，借助轴对称变换、函数与方程，求直线与抛物线的交点坐标，体现知识与能力并重、思想与方法交融的命题特点.在教学中要培养学生一题多解、多解归一的训练，突出数学思想方法，以及画图能力、计算能力的培养，在解后反思中提升能力.

中考试题；转化思想；优化方法

让学生在实践中反思，在反思中体验，在体验中感悟，在感悟中提升，这是数学教学的本真，也是笔者研读2016年天津市中考第25题的切身感受.

一、试题呈现

题目（2016年天津卷第25题）已知抛物线C：y=x2-2x+1的顶点为点P，与y轴的交点为点Q，点

（1）求点P，Q的坐标.

（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为点Q′，且FQ′=OQ′.

①求抛物线C′的解析式；

②若点P关于直线Q′F的对称点为点K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标.

二、试题评析

2016年天津市中考第25题以二次函数为载体展开，突出了利用函数思想进行科学探究的过程的考查.强调了代数与几何的有机联系，加强核心概念和数学思想方法的考查，很好地考查了学生的综合能力和审题能力，体现了对学生的发展性要求；特别突出画图能力的

考查.此题需要把坐标系单位长度适当放大，这样有利于第（2）小题第②问的解答，也比较直观地借助几何图形的直观分析问题.

第（1）小题由解析式求点的坐标，属于基础性的考查.

第（2）小题第①问通过点的平移，过渡到抛物线的平移.综合运用数学知识来解决问题，突出考查了函数思想在动态几何中的运用，涵盖了方程和函数等知识，确保了试题具有较好的效度和可推广性.

第（2）小题第②问设计成图形变换，有利于学生猜想、分析、比较、归纳和推理，又能考查数形结合、分类讨论、函数与方程、转化等思想方法，进而增强学生的探索能力、发现能力和创新能力.试题开放的形式、探究的过程，都给学生以较大的发挥空间，有利于不同的学生展现自己的数学才能，有效区分学生的解题能力和思维深度，试题区分度高.

三、解法探究

考点：二次函数综合问题.

分析：（1）令x=0，求出抛物线与y轴的交点，抛物线解析式化为顶点式，求出点P的坐标；

（2）①设出Q′（0，m），表示出Q′H，根据FQ′= OQ′，用勾股定理建立方程，求出m即可.

②根据AF=AN，用勾股定理，（x-1）2+=+y2-y=y2，求出AF=y，再求出直线Q′F的解析式即可.

解：（1）略.

（2）①设抛物线C′的解析式为y=x2-2x+m，

所以Q′（0，m），其中m＞1.

所以OQ′=m.

过点F作FH⊥OQ′，如图1所示.

在Rt△FQ′H中，

因为FQ′=OQ′，

所以m2-m+=m2.

图1

所以抛物线C′的解析式为y=x2-2x+.

②方法1：如图2，设点A（x0，y0），

则y0=x02-2x0+.

过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，

则可设N（x0，n），

所以AN=y0-n，其中y0＞n.

连接FP，FP∥AN.

则∠ANF=∠PFN.

图2

连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线.

所以FP=FK，∠PFN=∠AFN.

所以∠ANF=∠AFN.

则AF=AN.

根据勾股定理，得AF2=（x0-1）2+

因为AN=AF=y0，

所以（x0-1）2+

所以y0=0.

所以N（x0，0）.

解得x0=.

【反思】此方法突出的是几何方法，利用线段中垂线的性质，等腰三角形三线合一，等腰三角形判定等.设点A的坐标，把形转化成数，由函数对应关系构造方程，确定参数的值.难点是说明点N恰是射线Q′F与x轴的交点.

图3

又因为FE是PK的中垂线，可知FP=FK.

【反思】此方法突出线段中垂线的性质，设K（m，n），就可以表示PK的中点坐标

图4

因为PK⊥Q′F，

设K（m，n），

【反思】此方法运用Q′F⊥PK，两直线的斜率k互为负倒数的性质，可以求出PK的解析式，再求出点E的坐标，从而求出点学生容易想到，但计算量较大，增大了相对难度.

方法4：几何法.

如图5，连接HF，FP，易证△HFQ′∽△EPF.

易证△EPF∽△MEP.

图5

再求点直线FK的解析式即可，略.

【反思】此方法利用第（2）小题第①问Rt△HFQ′，构造相似三角形，从而求出关键点的坐标，方法简捷，思维连贯，计算量变小.

四、解后感悟

此题着重考查了点的坐标、二次函数平移、勾股定理、轴对称、线段中垂线、等腰三角形三线合一、相似三角形等数学核心知识，以及函数思想、方程思想、数形结合思想、转化思想等.试题起点低，第（2）小题第①问有效地设置台阶，为后续的探究做好铺垫，第（2）小题第②问有点曲径通幽的感觉，综合能力强，方法灵活.基于以上分析，试题综合性强，涉及的知识面广，题型灵活，对学生基础知识和基本技能要求比较高，这就需要我们在以后的教学中注意以下几个方面的问题.

1.夯实基础

注重基础训练，帮助学生领会基本概念，理解基础知识，掌握基本技能.

2.提高综合分析能力

提高学生分析问题、解决问题的能力.例如，第（2）小题第①问通过点的平移，过渡到抛物线的平移.抛物线的上下平移就是一般式中c的变化，需求出点Q′的坐标，设Q′（0，m），表示出Q′H，根据FQ′=OQ′，用勾股定理建立方程求出m即可.教师在平时的课堂教学中要加强综合问题的训练，使学生头脑中离散的知识点通过解题系统化；在复习时要进行专题教学和训练，使学生克服畏难情绪.

3.提高运算能力

重视对学生运算能力的训练，帮助学生形成正确的程序化运算模式.例如，解含参数的方程或方程组.

4.适时渗透数学思想

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁.在日常教学中适时渗透数学思想方法，能提高教学效益.常用的有数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、函数与方程思想等.例如，在函数教学中，要结合图象理解性质，通过图象直观地呈现图形变化，分析数式变化，体会数与形的转化.突出数学思想的渗透和体验，提高学生感悟数学思想，应用数学思想灵活解决问题的能力.

［1］刘家良.由形到质异中求同积淀思想：2014年天津市中考第25题评析及教学导向［J］.中国数学教育（初中版），2015（4）：58-60.

2017—03—09

宋春（1969—），男，中学高级教师，主要从事中考命题研究.