刍议初中数学解题教学五步曲——由一道试题的说题过程说起

姜晓翔，谈晓华

（浙江省湖州市南浔区教育教学研究和培训中心；浙江省湖州市南浔镇马腰中学）

刍议初中数学解题教学五步曲
——由一道试题的说题过程说起

姜晓翔，谈晓华

（浙江省湖州市南浔区教育教学研究和培训中心；浙江省湖州市南浔镇马腰中学）

心理学家沃勒斯曾提出创造思维四阶段说，而在初中数学解题教学中，在引导并发展学生思维时，遵循创造思维四阶段说的同时，可以提炼出五个基本环节，即审题、析题、解题、拓题、理题.以一次教师的说题过程为案例具体介绍解题教学五步曲的实施策略、各自所起的作用，以及相互之间的逻辑联系等，以期待能不断提升解题教学的效率.

解题教学；五步曲；自然法；积累模式

解题教学是数学教学的核心.而学生解题思维的发展过程需要教师更多的关注，心理学家沃勒斯于1926年提出的创造思维四阶段说：准备—孕育—明朗—证实，对于思维发展过程也是适合的.准备阶段，主要表现在把核心问题从偶然现象中分离出来，其对应的解题教学环节是“审题”.孕育阶段，人以现有的知识为基础展开积极有效的思维活动，其对应环节为“析题”.明朗阶段，对解题方法产生一种本质上的领悟，常表现为顿悟，其对应的环节是“析题”和“拓题”.证实阶段，以现有知识为基础，运用逻辑思维的活动，其对应的环节是“解题”.笔者认为，对于完整的解题教学，还应增加一个环节——“解后研究”，即对于整个解题过程的一个整理，提炼积累模式的一个过程，即“理题”.于是，笔者大致将解题教学分为“审—析—解—拓—理”这五步曲.

当下，教师说题活动作为一项新型的教学研讨方式可以映射出教师对于解题教学的一种把控与驾驭的能力，因此越来越受重视.笔者曾在一次区级教研活动中安排的优秀教师说题展示，给参与教师留下了深刻的印象，现结合该说题案例刍议解题教学五步曲：审—析—解—拓—理，与同仁分享，意在抛砖引玉.

一、原题呈现

二、试题简要综述

该题为2014年浙江省湖州市南浔区八年级期末试卷第16题，作为区级期末考试的填空压轴题，综合性较强，难度较大，得分率极低，对学生数学思维能力的考查立意较深，包括对数形结合、分类、方程、建模等数学思想方法的能力要求.该题所涉及的主要知识点有：等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的解析式等.基本活动经验的考查要求为：几何画草图分析能力和建立几何模型（“三垂图”或“K型图”）及数学模型（全等三角形）解决问题的能力.

三、说题过程及其评析

整个说题过程主要分五个环节：审题—析题—解题—拓题—理题.现将大致说题过程还原如下.

1.审题：划出关键词，读出正确题意

【评析】在解题教学中，教师需要引导并督促学生养成良好的审题习惯，提高审题能力.在平时教学中，可以多让学生通过划一划关键词的形式从题目中获取对解决问题有价值的信息，从而有助于学生逐步养成良好的审题习惯，提高审题能力.

2.析题：找到突破口，析出正确思路

（1）寻找隐含信息.

想一想：引导学生剖析条件，即△ABC是等腰直角三角形，需要从“等腰”和“直角”两个方向去思考，于是就自然想到了分类讨论的数学思想.

（2）画出可能情形.

画一画：题目是一个偏重几何味的函数几何综合题，但却没有给出图形，让学生意识到题目如此设计的意图，加上之前的铺垫式分析，是时机引导学生画草图了.根据直角顶点的三种情况：①∠ACB=90°，CA=CB；②∠ABC=90°，BC=BA；③∠BAC=90°，AC=AB；逐步引导学生画出对应的图形，如图1、图2和图3所示.

图1

图2

图3

【评析】在整个析题过程中，教师设置了两个小环节：“想一想”——让学生由关键词剖析关键条件，找到问题的突破口；“画一画”——让学生画出满足题意的关键图形，从而分析出正确的解题思路，为接下来的“解题”环节搭建好思维脚手架.值得注意的是，如何引导学生去想到并画出符合题意的图形是关键，而并非由教师直接将图形呈现给学生，启发式教学已然取代了传统的灌输式教学.

3.解题：寻得自然法，求出正确结果

之前的析题过程，虽然已启发学生正确画出三种可能情形的草图，但要顺利求出正确结果并非易事，有时还需要教师做进一步的点拨与引导.

添一添：由图1，能直接求出点B的横坐标a吗？如不能，能尝试通过添加辅助线的方法找到我们平时所熟悉的几何模型吗（三垂图）？那么图2和图3是否也可以呢？

解一解：构造了我们所熟知的基本图形之后，就能顺利地寻得解决该问题的数学模型，即全等三角形.第一种情况，通过图4中的△ADC≌△COB，建立方程1∙()

a+1=6，进而解得a=5；第二种情况，通过图5中的△ABD≌△BCO，建立方程a() a+1=6，进而解得a=2；第三种情况，通过图6中的△ADC≌

图5

图6

【评析】之前“析题”环节所起到的思维脚手架作用在“解题”环节中得到充分体现，教师顺势利导，引导学生添加辅助线之后，借助几何模型（三垂图）和数学模型（全等三角形及方程）这两类重要解题工具，让学生经历并体会到建模思想在数学解题中的重要性.教师立足于学生的最近发展区和认知规律，引导学生去发现该题最易想到的自然解法，从而成功切准重点，并最终突破难点.当然，该题的辅助线添加方法较多，但总体方向与思路基本一致.

4.拓题：抓准延伸点，思维持续生长

学生有了原题的认知基础，相信解决该变式题已并非难事.只需通过a的值转化到点A或点B的坐标，再利用一次双模型（几何模型和数学模型）数学工具，即可求出点D的坐标.

第一种情况，如图7，根据点A（1，6），可求得点D（6，5）；

第二种情况，如图8，根据点A（3，2），可求得点D（1，3）；

图7

图9

【评析】为了追求更好的解题教学效果，教师选择恰当的时机，对原题进行适当的变式.与原题相比，变式中的问题大背景并未改变，依然是在反比例函数图象下的综合问题，只是具体的几何背景由原题的等腰直角三角形变为正方形，然而，形变但质未变，解决问题的途径与方法也完全相同，只是将正方形看成了两个等腰直角三角形，多进行一次转化即可求出结果.如果学生的认知基础是已学过相似三角形，还可以变式为△ABC为含30°角的直角三角形.如此变式，让学生在巩固所学方法的同时，培养了思维的发散性和融合性，从而增加了思考问题时的思维深度，有效地实现了解题思维的培养.

5.理题：画出思维图，提炼积累模式

理一理：至此，该题的学习已接近尾声，请同学们好好的理一理在解决问题的过程中，我们用到了哪些数学知识、数学方法、解题技能、解题基本模型（几何模型和数学模型）等，而他们之间又是通过什么方式进行联系与整合？

画一画：是否可以把以上的解题反思通过一张思维导图加以呈现.

如图10，是教师课前所预设的一幅总结型思维导图.此题是一道典型的数形结合型综合问题，从数和形两个方面进行探究.数，通过反比例函数解析式从图象与表达式两个层面去理解；形，主要以三角形和四边形为知识点，从提炼出来的基本图形（三垂图）为方法技能点去寻找解题途径.最终通过方程、转化、分类与建模四种重要数学思想解决问题.

图10

【评析】反思提升环节是解题的归宿.解题后要养成反思的习惯，回顾问题的深层次结构，从而提炼和积累重要的数学模型，这就是罗增儒教授所指出的“积累模式”.教师通过引导学生自我总结，反思解题经验与方法，并结合思维导图的形式加以表征，既能抓住解题重点方法和步骤，又能理清各个环节之间存在的逻辑联系.让学生更全面、直观地感受该题的解题精髓与脉络，为今后解题方法的触类旁通及灵活运用打下坚实的基础.

四、结束语

以上说题案例也许并不算精彩，但它能清晰地呈现出初中数学解题教学中的五大基本环节：审—析—解—拓—理，它们之间相辅相成、相互制约，且浑然一体.在平时的教学中，教师在进行解题教学时也许不会刻意地去思考这五大基本环节.但如果我们在进行解题教学设计时，能注意到这五个基本环节对学生解题思维过程的发展所起到的积极的推动作用，并能做出精心且有针对性的设计，那么，离高效的解题教学就不会太遥远了.

［1］罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

［2］王云峰.识别模型优化解法［J］.中学数学教学参考（中旬），2016（7）：40-41.

［3］姜晓翔.孕育思维过程反思解题方法［J］.中国数学教育（初中版），2014（7/8）：74-78.

［4］李玉荣.一道教材习题的变式探究［J］.中国数学教育（初中版），2014（9）：29-32.

2017—03—26

姜晓翔（1978—），男，中学高级教师，主要从事课堂教学、解题教学研究.