追根溯源回归基础——从一道中考试题的分析谈中考综合题的复习策略

程广江，申秀娟

（天津市塘沽区第六中学）

追根溯源回归基础
——从一道中考试题的分析谈中考综合题的复习策略

程广江，申秀娟

（天津市塘沽区第六中学）

综合题是中考的重点和难点，一般在初中主干知识的交会处命题，涉及的知识点多、覆盖面广，渗透了重要的思想方法.文章通过对一道中考综合题的分析，阐明了“回归基础”在中考综合题复习中的重要作用；体现了三类常用工具——勾股定理、三角函数、三角形相似的应用；指出了综合题的复习要紧扣教材的要求，从学生的实际水平入手，让学生在教学活动中积极参与数学课堂活动.通过独立思考、合作交流、师生互动逐步感悟数学的思想方法，获得解决综合题的策略.

回归根源；知识网络；经验积累

综合题是深化知识、提高分析能力和解题能力的重要类型题，如何帮助学生分析、解决这类题目，是初中数学教师应当特别关注的问题.工欲善其事，必先利其器.以下通过对一道天津市中考几何综合题的研究，讨论该类题的复习策略.

一、试题呈现

将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），点O（0，0）.过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′.设OM=m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S.

（1）如图1（1），当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；

（2）如图1（2），当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；

图1

二、题目特色

该题以平面直角坐标系为背景，以轴对称变化的内容为载体，以问题串的形式命制试题，考查了学生“以形助数”及“以数解形”的探索问题的方法，各问题之间承接性明显，为学生顺利解题隐含地提供着导向作用，较好地实现了对初中数学基础知识、基本技能，以及对学生综合运用知识解决问题能力的考查.

1.立足基础

该题的起点低、入口宽，坡度缓、难点分散，第（1）小题给出一种点A与点B重合的折叠特殊情形，学生很容易通过观察图形的形状与位置特征，运用勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等相关知识求得点M的坐标.这是面向全体学生设计的问题，属于数学的基础知识和基本技能的范畴，难度不大.

第（2）小题是第（1）小题的基本方法和基本技能考查的延续.增加了“割补法”的考查.题目对于第（2）小题在解题途径上做了铺垫.虽然折叠由特殊情形发展为一般情况，但△A′MN≌△AMN、线段OC和OM的数量和位置关系并没有发生变化，这就为寻求建立函数关系的途径做了方法上的铺垫，同时也很好地揭示了轴对称变换过程中“数量与位置”不变的本质特征与内在联系，充分体现了基本方法和数学思想的应用.

第（3）小题仍然是第（1）小题基本方法和基本技能考查的延续——“分类讨论思想”的考查.题目通过分析折叠的各种情形，得出当S=时，点M的位置区间，并通过代数运算求解，突出体现了先“定性”分析，再“定量”计算的研究几何问题的一般思考方法.

解：（1）如图2，由折叠，得△BMN≌△AMN.

通过勾股定理，得

OM2+OB2=BM2，

即m2+12=(-m)2.

图2

（2）如图3（1），重叠部分的面积可表示为S= S△AOB-S△AMN-S△COM，或如图3（2），连接BM，S=S△BCM+ S△BNM.将问题转化为解直角三角形.于是S=-m2+

图3

（3）由第（1）（2）小题可知，

图4

中考属于学业水平测试，需要坚持以考查“四基”为主，评价学生能否正确理解及应用数学基础知识和基本技能，能否用数学的思想方法描述问题、解决问题，对于一道几何综合题来说，这种立足基础的设计是比较有特色的.

2.重视通法

该题的第（2）小题求图形重合部分的面积，考查了割补法，题目割或补的方法多种多样，体现了割补法的普适性.大部分学生都可以很快上手，“难”“偏”“巧”“创新”并不是中考综合题的特征.此题重视通法的考查，完全符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）的要求，能够发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心.

3.逐层深入

该题三道小题的设计逐层深入，层层递进、有关联，区分度好.三道小题中，点A′的位置从“特殊”（与点B重合或者在y轴上）到“一般”（第二象限）再到“特殊”（面积是一个定值），其难度逐层深入、层层递进；从“求面积S与m的关系式”到“面积是一个定值”，既有递进，又有关联，还有小小的陷阱（不是简单代入，而需要分类讨论）；第（1）小题的图形是第（3）小题中分类讨论的一种特殊情形，为第（3）小题的解答埋下了伏笔；第（2）小题的条件“点A′在第二象限”虽然是为“求面积S与m的关系式”做了界定，但也能对学生有一定的提醒作用.

4.内涵丰富

（1）变换中有不变.

该题属于图形变换中的翻折变换，在变换的过程中存在许多不变之处，如当点A′在第二象限时，随着动点M位置的变化，△AMN，△COM，△A′BC，四边形BCMN的大小变化、形状不变，所以虽然m的大小变化，但各条线段与m的关系不变、重合部分的面积与m的关系不变.

（2）形中有数，数中有形.

该题重合部分的面积S与m的关系是二次函数的关系，用到了二次函数解决几何图形面积的问题，这是形中有数；而在代入数（面积的固定值）的过程中，因为涉及区间内函数值的取值范围问题，二次函数是非线性的，需要结合图象求二次函数的值域，这是数中有形.数缺形时少直观，形缺数时难入微，这种数形结合的思想在该题中体现明显，这样的设计内涵丰富，让人回味无穷.

三、复习策略

通过对该题的分析和研究，笔者认为几何综合题的复习要紧扣教材、立足基础，要合理地安排内容，增强自信，让学生在积极参与中通过独立思考、合作交流、师生互动，逐步感悟数学的思想方法、获得解决综合题的策略.

1.回归根源构造网络

综合题是数学知识的综合应用，通过综合题的复习帮助学生建立一张密实的知识网.这张网是解好综合题的基础，它以坐标系下图形的变换为线，以数学基础知识和基本思想方法为结.知识网的建立要做到如下几点.（1）注重基础知识的训练和理解，让学生体会数学知识之间的关联，将每堂课的知识置于整体知识的体系中，引导学生感受数学的整体性，理解局部知识与整体知识的关系，使学生在需要的时候能够运用这些概念、定理、公式解决问题；（2）注重基本技能的培养，既要注重训练的针对性，又要注重训练的有效性.可以在引导的基础上，经过对题目的变式与拓展，多角度、多维度地进行训练，真正内化为学生自身的基本技能.

2.数形结合辅助应用

通过题目的回顾我们不难看出中考几何综合题是图形变换的应用，解好此类题“数形结合”是有利的辅助手段.于是在安排综合题的复习时要重视训练学生从变换中找出特殊图形的能力，抓住图形之间最本质的关系，“以形助数”或“以数解形”；训练学生数形结合、动静结合的逻辑思维能力、空间想象能力，发现其中变化的量和不变的量；训练学生把握变换的规律，充分挖掘图形的几何性质及变换的特性，能准确地识别图形、准确地画出图形；训练学生把握运动变化的全过程，并特别关注运动变化中的变量、不变量的关系，通过分类讨论、割补等思想方法，结合勾股定理、三角函数、相似三角形等解题手段把其中的数量关系用方程的形式表达出来，实现问题的解决.

3.合理选题增强自信

学生害怕综合题，学生的恐惧与选题有很大关系.盲目追新求难，忽视基础，学生没有成就感，心理上抵触，结果就是放弃.因此，合理的选题会给学生提供心理上的帮助，提升学生解决综合题的信心.中考试题具有良好的教学导向功能，题目的选择可以收集历年来有代表性的中考综合题，并进行分类整理，以专题的形式进行复习.题目的呈现形式可以把综合题分解为若干个“小综合题”，并进行剪裁与组合，将较复杂的内容转化为基础知识与基本技能的训练；解题方法的训练要立足通法、兼顾巧法，教师要帮助学生打通思路、掌握方法，指导他们灵活运用知识.这样花的时间虽然不多，但能取得较好的效果.

4.温故知新积累经验

《标准》指出：数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.数学活动经验是在“做”的过程和“思考”的过程中逐步积累的.有活动，不一定有经验；没有活动，很难积累经验.我们在做每一道综合题时应及时总结经验，这不仅是一个“温故”的过程，更是一个“知新”的过程.学习中要尽力理顺分析问题的方法——分析综合法，要注重对“综合—分析—再综合—再分析”的总结，这对于积累解题的经验大有裨益.

总之，中考综合题的复习就是要引导学生通过课堂活动获得解题的策略，在复习时要重视基础知识的训练、重视“四基”的培养，要突出基本图形的识别，体现基本解题方法和解题工具的应用，要重视数学思想方法的渗透，这样就能帮助学生提升数学素养、提高学习能力，找到解决综合题的方法.

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［3］沈德辉，顾洪敏.知其源得其法：2014年天津市中考数学第18题第（2）小题的思考［J］.中国数学教育（初中版），2015（3）：28-31.

［4］李兴梅.2016年中考数学试题“图形与坐标”专题解题评析［J］.中国数学教育（初中版），2016（1/2）：114-128.

2017—03—10

程广江（1968—），男，中学高级教师，主要从事数学教育和中考试题研究.