借助数学实验揭示函数性质——以探究“一次函数的图象和性质”为例

丁浩勇

（安徽省无为县刘渡中心学校）

借助数学实验揭示函数性质
——以探究“一次函数的图象和性质”为例

丁浩勇

（安徽省无为县刘渡中心学校）

函数研究的是客观世界的数量关系和变化规律，它的抽象性较强，接受并理解它具有一定的难度.探究函数图象和性质时，可以在现代教育技术环境下借助数学实验，将函数中蕴含的数量关系和变化规律形象、直观地呈现出来，这对构建函数图象和揭示函数性质十分有益.

教育技术；数学实验；函数图象；函数性质；一次函数

函数研究的是客观世界的数量关系和变化规律，它的抽象性较强，这对于抽象思维能力处于启蒙阶段的初中学生来说，接受并理解它具有一定的难度.然而初中学生的形象思维能力却优势明显.根据函数的这一特征及初中学生的认知规律，为了扬长避短，我们在研究函数图象和性质时，可以在现代教育技术环境下借助数学实验，将函数中蕴含的数量关系和变化规律形象、直观地呈现出来，这对于构建函数图象和揭示函数性质将会起到十分重要的作用.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生已有经验的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系.这充分说明数学课堂教学中开展数学实验活动，可以让学生手脑并用，通过操作、观察、验证、猜想等手段获得基本的数学活动经验，从而达到透视知识本质的目的.下面以探究“一次函数的图象和性质”为例，谈一谈如何利用现代教育技术开展数学实验活动，来构建函数图象并揭示函数性质.

一、借助数学实验类比和深化同类函数图象之间的关系

“一次函数的图象和性质”在人教版《义务教育教科书·数学》中被安排在八年级下册第十九章第二节内容中，本节知识是“一次函数”第二课时的教学内容.学生在学习本节内容之前已经学习了变量与函数、函数的图象、正比例函数的图象和性质，以及一次函数的相关概念，掌握了用描点法来刻画函数图象及正比例函数的图象（一条直线）和性质（增减性），这些知识为本节课学习一次函数的图象和性质打下了坚实的基础.因此，在教学“一次函数的图象和性质”时，可以充分利用学生已经学过的正比例函数的图象，让学生通过类比的方法来研究一次函数的图象.在研究的过程中，可以借助计算机，利用数学实验来呈现和平移函数的图象，帮助学生理解和体会一次函数的图象.

案例1：一次函数与正比例函数解析式的分析和比较.

问题1：你能用描点法在同一直角坐标系中画出函数y=2x与y=2x+1的图象吗？

师生活动：师生先共同回顾画函数图象的一般步骤——列表、描点、连线，然后学生自主动手在同一直角坐标系中画出这两个函数的图象.教师巡视，及时指导.

追问1：你画的一次函数y=2x+1的图象是什么图形？它与正比例函数y=2x的图象形状相同吗？

追问2：一次函数y=2x+1的图象与正比例函数y=2x的图象在位置上有什么关系？如何由函数y=2x的图象得到函数y=2x+1的图象呢？

师生活动：学生观察所画图象，得出一次函数y=2x+1的图象与正比例函数y=2x的图象形状一致，都是一条直线.引导学生通过函数的解析式进行分析，当自变量x取相同值时，函数值y=2x+1总比函数值y=2x大1，由此得出它们的图象是互相平行的两条直线.

教师利用几何画板软件演示，把直线y=2x沿着y轴向上平移1个单位得到直线y=2x+1（如图1），通过数学实验帮助学生直观感知直线y=2x与直线y=2x+1的位置关系.

图1

【设计说明】教学过程中，通过问题及追问有意识地强化学生对一次函数与正比例函数解析式的分析和比较，借助数学实验，帮助学生发现和领会数学知识中所蕴涵的数学思想和数学方法.问题1通过学生画图实践，得出一次函数的图象，并在同一直角坐标系中感知正比例函数y=2x的图象与一次函数y=2x+1的图象的关系.追问1引起学生对一次函数y=2x+1的图象形状的关注，追问2强化学生对一次函数y=2x+1的图象与正比例函数y=2x的图象的类比识别，并充分利用信息技术在数学实验中让学生深化对一次函数y=2x+1的图象及正比例函数y=2x的图象关系的认识.

二、借助数学实验构建和验证函数图象

对于“一次函数的图象是一条直线”的教学，前面已经通过问题1引导学生自己画图初步感知了，但学生得到的图象是利用有限个点所得的，而且学生各自所画的图象也只是特例，这对知识的形成来说还具有一定的瑕疵.而此时利用几何画板软件强大的画图功能为学生正确画图，并理解函数图象，可以提供极大的方便.

案例2：对一次函数图象形状的认识.

问题2：对于一般的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象形状又是怎样的呢？试画出下列函数的图象：（1）y= x+1；（2）y=x-1；（3）y=-x+1；（4）y=-x-1.

师生活动：将学生分成4个小组，每组各解决一个问题，完成后各组派代表汇报所画图象的形状.根据学生汇报的结果，师生共同猜想一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线.

教师利用几何画板软件验证，给一次函数y=kx+b (k≠0)中的k，b分别赋予不同的值，让学生观察它的图象（如图2）.

【设计说明】《标准》明确指出：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.基于这一理念，在学生初步感知特殊的一次函数图象与相对应的正比例函数图象之间的关系后，为了进一步明确一次函数的图象是一条直线，设计了“学生亲自动手实践，教师软件画图实验验证”这一教学环节，从特殊到一般，让学生不断深化对一次函数图象形状的认识，从而得出一次函数的图象是一条直线.

三、借助数学实验发现和揭示函数性质

抽象是数学的本质属性，但是，数学知识的抽象过程是在数学直观的基础上产生的.课堂教学中，设计数学实验可以给学生提供直观的探究素材，引导学生自己从中寻找知识产生的起因，从而获得知识的本质属性.探究一次函数性质时，我们应该从它的直观图象上寻找突破口，即通过坐标系中的直线上点的坐标反映变量之间的对应关系，让数与形完美地结合起来.正如恩格斯所说，笛卡儿变数的出现，是数学中的一个转折点，从此运动和辩证进入了数学.因此，快速且准确地呈现出不同类型的一次函数图象，让学生从实验中发现和揭示一次函数的性质是设计好这一教学环节的关键.

案例3：借助数学实验揭示一次函数的性质.

问题3：观察并比较问题2中所画的函数图象，你能发现一次函数y=kx+b() k≠0的图象与k的正、负有什么关系吗？

师生活动：教师先引导学生观察所画的4个函数图象，并从k＞0和k＜0两方面分类归纳，得出函数值随着自变量的增大而发生变化的趋势，然后再利用几何画板软件将k赋予不同的值，画出大量的一次函数图象来验证结论（如图3）.最后，师生共同总结性质：当k＞0时，直线y=kx+b从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx+b从左向右下降，y随x的增大而减小.

图3

【设计说明】利用计算机演示一次函数图象，借助数学实验来揭示一次函数的性质，可以把较难理解的一次函数性质变得形象、直观，有助于学生探索发现解决问题的思路，并能准确预测结果.案例中引导学生通过观察、实验、比较、归纳、概括，得出一次函数的性质，并采用几何画板软件快速且准确地根据k的正、负分类画出大量的一次函数图象，让学生通过数形结合的方法更深刻地理解了一次函数的单调性与系数k的正、负的关系.

总之，在探究一次函数的图象和性质时，利用信息技术开展数学实验，帮助学生直观感知直线y=2x与直线y=2x+1的位置关系；通过数学实验给一次函数y=kx+b()

k≠0中的k，b分别赋予不同的值，让学生观察图象形状；借助数学实验绘制大量的一次函数y=kx+b()

k≠0的图象，来验证它的图象与k的正、负的关系结论；等等.这样设计教学，从形象直观到理论归结，层层深入，把较难理解的一次函数性质变得形象直观，为学生探究一次函数的图象和性质提供了一个良好的平台.同时，利用现代教育技术开展数学实验教学，对培养学生基本的数学活动经验，发展学生的几何直观能力也是十分有益的.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］赵维坤.在数学实验中发展学生的推理能力［J］.中国数学教育（初中版），2015（11）：27-31.

［4］丁浩勇.利用信息技术在数学实验中开展概念教学［J］.中学数学（初中），2016（4）：63-65.

2017—03—10

安徽省教育信息技术研究“十二五”规划2015年度立项课题——现代教育技术环境下的数学实验教学研究（AH2015056）.

丁浩勇（1970—），男，中学高级教师，安徽省特级教师，芜湖市学科带头人，主要从事中学数学课堂教学研究．