慢中求突破精细谋发展——由“探索直角三角形全等的条件”的教学谈起

卜启虎

（江苏省泗阳县树强中学）

慢中求突破精细谋发展
——由“探索直角三角形全等的条件”的教学谈起

卜启虎

（江苏省泗阳县树强中学）

教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，而学生只有在慢的情境中才能使这样的教学总体目标落实到位.新课程理念指导下的数学课堂，唯有基于学生的真实数学水平，尊重其个性化知识经验和认知水平，寻求适切的教学流程、得体的教学手段、匹配的教学策略和适切的教学模式，以“慢教育”理念指导数学课堂教学，才能让数学实现“难学—会学—善学”的转变，也才能让数学课堂实现“难上―能上―好上”的转变.教育是慢的艺术.慢，就是让学生感受、体验学习的过程，形成良好的学习习惯；慢，就是不急于求成，要有足够的期待和耐心，减少教育的浮燥和功利，通过慢教育，将学生引向知识的核心和核心的知识，谋求学生各方面的发展，这才是真正的教育.

慢的教育；突出重点；理解难点；谋求发展

张文质先生认为，教育是慢的艺术.教育学者郭元祥说过，慢，需要平静和平和；慢，需要细致和细腻；慢，更需要耐心和耐性.数学本质的获得是一个内在的加工、提炼的过程，是一个去芜存菁的过程，需要缓慢的时空，不是一时一刻就能造就的.慢教育追求的理想是引导学生经历数学知识发生、发展的关键性步骤，力求突破重点新知，理解难点，突出核心知识，谋求在深度和广度上的保障，以此拓展思维空间，发展学生的各种能力.下面以“探索直角三角形全等的条件”一课的教学为例，展现教育的慢理念.

一、情境创设，揭示主题

师：我们已经学习了判定两个三角形全等的三个基本事实及其推理：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”.可见，判定两个三角形全等需要这两个三角形中有3对独立元素（其中至少有一对边）对应相等.

图1

师：如图1，245省道两旁的两个直角三角形是否全等？两个直角三角形都有一条直角边，因在建造省道过程中泥土被取走，形成形状不规则的水塘，而无法直接测量.（1）你能帮工作人员想个办法吗？（2）如果工作人员只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

生1：因为这两个直角三角形有一对内角（直角）相等，这是直角三角形中的隐含条件，而我们学过的判定两个三角形全等的四种方法中有三种方法里含有角的元素，根据“AAS”和“ASA”判定方法，只要量斜边和一个锐角，或者量一个直角边和一个锐角就可以了.而“SAS”属于两直角边和直角对应相等，在该题的情形下，无法实现.

师：非常棒！由普通三角形全等的条件（SAS，ASA，AAS，SSS），在直角的参与下，类比生成直角三角形的全等方案：一条边和一个锐角，或两条直角边（此题中不能量出两条直角边）.

生2：对于问题（2），根据已经学习过的判定方法只能用“SAS”或“SSS”，而在此题的情形下，由于两个直角三角形都有一条直角边被水塘阻挡，无法测量，所以我们难以确定.

师：工作人员测量了每个直角三角形没有被遮住的直角边和斜边发现他们分别对应相等，于是就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？

很多学生都感到茫然.

【说明】这里通过慢体悟与慢思考，突出对实际问题的提炼，突破核心知识的引入，促进类比思维能力的发展.要让学生参与到新知识的获取过程中，并成为活动的主体，通过提炼实际问题情境或考查数学知识关系，使学生知道数学不但是“有用”的，而且是“有理”的.在这个过程中，拉长了知识生成的链条，让学生通过慢慢地体悟实现知识的衔接生长，在慢思考的参与下，直击教学主题（如何判定两个直角三角形全等），很快把学生引向知识的核心和核心的知识（直角三角形全等的条件）.

二、合作探究，共获新知

师：为了获得正确结论，同学们可以按要求完成下列操作.

画一画：试按下列要求画图. （1）画∠PCQ=90°；

（2）在射线CP上取CB=3 cm；

（3）以点B为圆心、5 cm长为半径画弧，交射线CQ于点A，连接AB.

学生画图，如图2所示.

师：小组之间，或同排几个同学之间将所画的三角形进行叠合，看是否重合.

生：重合.

图2

个别学生由于作图问题，未能得到重合，也就是全等的效果，教师对其给予个别指导.

师：很好！下面我们再次操作.

画一画：试按下列要求画图.

（1）任意画两条直线l，m，且直线垂直直线m，垂足为点D；

（2）在直线m上任取一点A，以点A为圆心、大于AD的长为半径画弧，分别交直线l于点B，C；

（3）连接AB，AC，得到△ABD和△ACD.

学生画图，如图3所示.

师：用折纸的方法验证所画的△ABD和△ACD是否全等.

图3

生3：△ABD≌△ACD.

师：你能说出△ABD≌△ACD的道理吗？

生3：通过折纸发现这两个三角形完全重合，从而这两个三角形全等.

这时，同组学生补充说：老师，我们两个人所作的图形也满足SSA对应相等，为什么不能全等呢？

师：请你把所画图形展示给大家看.

生3展示图4.

图4

师：同学们观看后有何感想？

生3：他们所画的图形中相等的角不是直角.

师：正确，一语中的！正是由于∠B不是直角，在以点A为圆心、AD长为半径画弧时，可以得到与BM的两个交点D，C，从而导致出现不全等三角形.而我们这里所画的直角三角形，由于相等的角是直角，在作图过程中，可以看到、得到的只有一个点，也就是说所作出的图形是唯一的，所以只有直角三角形可以直接使用这个定理进行判定.

学生恍然大悟.

师：通过这两次操作，你能得到什么结论？

生4：当以已知对应相等的两条线段为直角三角形的直角边和斜边构成直角三角形时，所画的直角三角形都是全等的.

师：非常好！能否说得更精致些？

生5：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.

师：真棒！简记为HL.能用几何语言表示吗？

生5：如图5，在Rt△ABC和Rt△DEF中，因为AB= DE，AC=DF，所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.

图5

师：真精彩！“HL”其实也包含了三个独立元素，即一条斜边、一条直角边和一个直角对应相等，所以直角三角形的形状和大小就唯一确定了.

【说明】通过慢操作和慢流程，突出学生数学基本活动的过程，突破“生成式思维”向“结构式思维”的过渡，突破重点新知的获取，真正做到“教懂”“教活”“教深”，促进学生的数学思维能力、演绎推理能力和口头表达能力的发展.第一次画图让学生初步感受到“HL”能确定一个直角三角形（即在直角三角形中，一条直角边和一条斜边可以确定一个直角三角形的形状和大小）.再经历生生之间所画的三角形的多次叠合，确认判定直角三角形全等的特殊方法“HL”的可行性，进一步感受直角三角形全等的判定“HL”的存在性.第二次画图除了让学生再次经历用“HL”构造直角三角形，体验△ABD≌△ACD的合理性，又用折纸的方式叠合△ABD和△ACD，再次发现三角形全等的必然性，最后用演绎推理的手段展现△ABD≌△ACD的说理过程，由感性上升到理性，实现思维上的一种突破，达到理性思维的境界.画图出现的偏差由学生自己去发现，折纸叠合由学生自己操作，“HL”判定由学生自己概括提炼，有条理的表达由学生自己去完成……

思想实验的过程是极其缓慢的，真正实现由知识为中心向以学生发展为中心转变，是课程改革所积极倡导的.因为“画图”既是学生思考的结果，又是新认识产生的重要途径，还是归纳结论的抓手，更是结论考量的依据.

慢操作的牵引和慢流程的谐振，为学生提供了广阔的思考空间，使学生在缓缓的操作中、静静的思考中和徐徐的交流中，深度体悟知识的来龙去脉，达到“知其然，知其所以然”的境界.

在微微的等待中，寻求学生对那些具有较高概括性、包容性和强有力的具有解释效应的知识的突破，发展了学生的思维能力，进而获得组织化、简约化、恒久化和系统化的知识体系.

只有经历足够的画图过程，放慢脚步，放低认识，通过操作铺垫感性认识，再经历交流碰撞，才能归纳出千锤百炼的结论.

教师出示如下问题.

如图6，AB⊥BD，AC⊥DC，∠BAD=∠CAD，求证：AB=AC.

图6

生6：因为AB⊥BD，AC⊥DC，所以∠B=∠C=90°（垂直B的定义）.在△ABD和△ACD中，∠B=∠C（已证），∠BAD=∠CAD（已知），AD=AD（公共边）.所以△ABD≌△ACD（AAS）.所以AB=AC（全等三角形对

应边相等）.

师：很好！从生6的证明过程来看，无懈可击，说明方法掌握得不错.再看变式1.

变式1：如图6，AB⊥BD，AC⊥DC，AB=AC，你能说明∠BAD=∠CAD吗？试试看.

生7：因为AB⊥BD，AC⊥DC，所以∠B=∠C=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC（已知），AD=AD（公共边），所以Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.

师：生7用“HL”定理证明，非常好！特别精致！从这两个题目的证明过程来看，有何区别？

生7：变式1证明时必须强调在直角三角形中.

师：很棒！这也是我要向同学们特别说明的.在运用“HL”定理时一定要强调在直角三角形中.大家想一想，在此条件下还可以得到哪些结论？

生8：BD=CD，∠ADB=∠ADC，△ABD≌△ACD.

生9：四边形ABDC是筝形……

师：同学们回答得都不错！请看变式2.

变式2：如图7，AB⊥BC，DE⊥EF，AB=DE，且点A，D，C，F共线，要得到∠BAC=∠EDF，还缺少什么条件？

师：若用“HL”定理来判定，则必须添加什么条件？为什么？

图7

生10：由已知条件知，两个直角三角形中已经具备一组直角边对应相等，所以添加AC=DF，因为AC，DF为一对斜边.

生11：添加AD=CF.这时，可由AD+DC=CF+ DC，得到AC=DF，也是斜边对应相等.

师：这两位同学回答得都非常正确，都能正确运用“HL”定理.若用“SAS”证明，又必须添加什么条件呢？

生12：由已知条件可知，应添加BC=EF.

师：大家回答得都很好！接下来，请思考“有两边相等的两个直角三角形全等”这个结论正确吗？

生13：正确.因为如果两边都为直角边，而夹角是直角，则由“SAS”可以说明全等.

生14：正确，因为如果一边为直角边，另一边为斜边，则由“HL”可以说明它们全等.

生15：不正确，如果一个三角形的较长直角边与另一个三角形的斜边相等，较短的直角边与另一个三角形的较长直角边相等，则这两个三角形不全等.

师：前两个同学的回答，片面地理解了三角形全等中的对应关系，把两边当作对应边.其实，题目没有说是对应边，故生13、生14的回答都是错误的，生15的分析是正确的.当两边不是对应边时，就会出现生15列举的情况.因此一定要注意全等条件中的“对应”两字.

【说明】这里通过慢交流和慢讨论，突出思维过程，突破精准思考，促进解题能力和严谨思维能力的发展.教师对问题精确的设置，除了谋求学生的严谨思维，从而对问题精准的回答外，还要谋求对学生思维能力的发展.在缓慢的过程中，要突出核心知识、关键能力的落实.步步留痕，掷地有声，“数学地思维”“有声地思考”，通过慢交流和慢讨论，让学生暴露思考路径，彰显“HL”判定定理应用的过渡性和适应性，体现新、旧知识的链接性，体现数学的基础性和工具性，使学生的思维含量具有一定的挑战性.

例如图8，已知AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D= 90°.求证：AO=BO，CO=DO.

师：请同学们想一想，怎么样才能证明AO=BO，CO=DO？

图8

师：要证AO=BO，CO=DO，设法证明△AOC≌△BOD.由于∠C=∠D=90°，∠AOC=∠BOD.于是只要证AC=BD，所以就要证明△ABC≌△BAD.

由学生尝试书写证明过程，师生共同修订，达到规范格式的效果，得到如下证明过程.这里宜让学生慢慢经历规范证明过程的呈现.

证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠C=∠D= 90°，BC=AD（已知），AB=BA（公共边）.

所以Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.

所以AC=BD（全等三角形对应边相等）.

在△AOC和△BOD中，∠C=∠D（已知），∠AOC= ∠BOD（对顶角相等），AC=BD（已证）.

所以△AOC≌△BOD（AAS）.

所以AO=BO，CO=DO（全等三角形对应边相等）.

【说明】通过慢呈现和慢经历，突出解题的规范性，突破数学思考的深度，促进学生分析问题能力和解决问题能力的发展.在慢慢的等待中，放慢知识的呈现速度，体会数学的严谨性和板书规范的重要性，缓慢经历思维的缜密性，对学生数学思考深度、数学思维的优化和数学策略的调整都大有裨益.从而使学生思维的活跃度和参与度达到新的高度.或许有的问题耗时、耗力，扰乱教师的预设程序，给教师“添乱”，但是这正是思维的慢性回归.

以下过程略.

慢不是唯慢而慢，而是为了更好的快.在课堂上慢是为了把发现机会和锻炼机会让给学生，让学生有机会展现自己，有足够的时间消化、累积知识，有益于学生实现知识的有效内化.

慢是为了激进的快，慢是为了不再重复，慢是为踏实之花的生长搭建平台.慢，能让学生充实丰富，能让教师立意高远.因此，慢课堂，才是长效的课堂，理解的课堂，实惠的课堂.

［1］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］孙朝仁.数学教学中深化参与式教学思想的实践与思考［J］.中国数学教育（初中版），2012（3）：5-7.

［3］朱桂风，孙朝仁.例说个性化课堂教学中的“六慢”［J］.中国数学教育（初中版），2012（4）：5-9.

2017—03—19

卜启虎（1962—），男，中学高级教师，泗阳县首届农村中学名教师，主要从事数学教育教学研究.