谈直线与椭圆、 双曲线位置关系的判别方法

刘妍

【摘要】高中阶段数学学习中最重要的几何知识点就是直线与椭圆、双曲線的位置关系，如何判断几者之间的关系是需要学生重点掌握的，本文提出了几点判别直线与椭圆、双曲线位置关系的方法.

【关键词】直线与椭圆；双曲线；判别方法

一、直线与椭圆的位置关系判别

在高中数学知识教学的时候，高中的数学教师习惯将解题的技巧转授给学生，使得学生在解题的时候直接抓住解题的关键点，利用解题的技巧得出结论.在判断直线与椭圆的关系的时候也是这样的，高中生在解题的时候通常是根据椭圆的两焦点与直线的距离之积和椭圆的短半轴的平方进行比较，学生必须明白这个条件仅仅是充分条件而非充要条件，学生在解答题目的时候必须对条件中所涉及的关键因素进行分析，确保数学题目在解答的时候得到最精准的结果，提高解题的效率.

在判断椭圆与直线的位置关系的时候，充分必要条件为：已知直线l：Ax+By+C=0（B≠0），椭圆的表达式为x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），过椭圆的顶点M（-a，0），N（a，0），且垂直于x轴的直线分别为l1：x=-a，l2：x=a，直线l与l1，l2交点的纵坐标分别为y1和y2，则当直线l与椭圆相切时，y1y2=b2；当直线l与椭圆相交时，y1y2b2.在课堂讲解的过程中，高中数学教师将这一结论当堂给学生进行证明和验证，确保学生在解答问题的时候能够从题目的条件入手找到切入点，使用该结论对题目进行解答.

二、直线与双曲线的位置关系判别

由直线与椭圆的关系入手，可以从结论推断的核心出发判别直线与双曲线之间的关系，推断的原理是具有相同性的：已知直线l：Ax+By+C=0（B≠0），双曲线的表达式为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），过双曲线的顶点M（-a，0），N（a，0），且垂直于x轴的直线分别为l1：x=-a，l2：x=a，直线l与l1，l2交点的纵坐标分别为y1和y2，则当直线l与双曲线相切或者相离时，y1y2=-b2；当直线l与双曲线相交时，y1y2>-b2；当直线l与双曲线相离时，y1y2<-b2.高中生要注意题目是否能够使用这一结论，如此在解答几何问题的时候就能够大大地提高解题的效率.

例如，判断当m为何值的时候，直线y=m（x+3）与椭圆x24+y21=1的关系是相切、相交或者相离？这道题目是比较基础的，重点考查的是学生的计算能力以及几何结论应用的能力，从已知条件中可以看出，椭圆的a2=4，b2=1，从直线与椭圆的距离判断二者之间的关系，可以得出y=m（x+3），x=-2；y=m（x+3），x=2.解得y1=m，y2=5m，根据结论得到y1y2=5m2=b2=1，此时直线与椭圆的关系是相切的，而当m在-55，55之间时，y1y2-55时，y1y2>b2=1，直线与椭圆的关系是相离的.在数学课堂上讲解这道题目能够顺利地带领学生理解课堂上讲解的判定结论，通过习题的学习，高中生对于几何问题的解答与分析有了自己的思路.

在高中数学学习的阶段，高中生所面临的数学知识点已经有了一定的难度，多数学生的数学学习能力在高中阶段有所下降，尤其是几何题目在解答的时候对于学生的计算能力有很高的要求，因此，在解答椭圆、双曲线等等一些问题的时候，需要高中数学教师引导学生总结一些切实可行的结论，使得学生能够在解答题目的时候找到更有效率的方式，使得学生的高中数学学习能力大大提高.

在判断直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系的时候，高中的数学教师可以向学生讲解很多的解题方法，学生可以根据自己的解题过程中遇到的实际题目情况选择一种恰当的解题方式，多种位置判断方法能够给学生解答题目提供很多的思维方式，为学生寻找正确的几何解题方法奠定良好的基础.

三、总 结

在高中阶段，数学知识的学习应当从多个角度着手，几何计算能力在实际生活中具有广泛的应用，高中数学教师在课堂讲解的时候应当注意引用实例，带领学生共同探究和验证几何结论，使得学生在解答数学问题的时候能够更准确地找到解题的关键点，提高计算能力以及题目的解答效率，同时高中生的自主学习能力也相应地提高，为学生的后续成长奠定良好的基础.

【参考文献】

[1]魏志平.直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法[J].中学数学杂志，2003（3）：47-48.

[2]刘洪华.判断直线与椭圆位置关系的两种新方法[J].中学生数学：高中版，2004（8S）：30.