亲历建构之旅体悟模型之美

钟丽梅

【教学内容】人教版义务教育教科书小学数学四年级下册第17—18页“加法运算定律”.

【教学目标】

1.让学生在自主建构加法交换律和加法结合律模型的过程中，理解并掌握加法交换律和加法结合律，初步感受到应用加法运算定律可以使一些计算简便.

2.在运算定律模型建构的过程中，发展学生的分析、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感.

3.让学生在数学活动中获得成功的体验，进一步增强对数学学习的兴趣和信心，初步形成独立思考和探究问题的意识和习惯.

【教学重点】帮助学生逐步建立“加法交换律”和“加法结合律”的模型.

【教学难点】探索并准确概括加法交换律、加法结合律.

【教学过程】

一、依托情境，提出问题

1.素材呈现.同学们，咱们厦门市是一座著名的风景旅游城市，素有“东方夏威夷”之称.有国家5A级旅游景区“鼓浪屿”，4A级景区“同安影视城”和“万石植物园”，有9个岛16座桥梁相互连接的国际园林博览苑……导游小姐介绍道：“鼓浪屿到园博苑相距约21千米，园博苑到同安影视城相距约34千米.”

2.提出问题.根据以上信息，你想解决什么数学问题？

3.生成材料.选取“鼓浪屿到园博苑相距约21千米，园博苑到同安影视城相距约34千米，鼓浪屿到同安影视城相距多远”作为学习材料.

二、自主探索，建构模型

（一）探索“加法交换律”

1.解决问题.要解决这个问题，该怎么列式？21+34或34+21.

2.观察思考.分析比较，明确这两个算式的异同处.这两个算式中的“加数”和“和”是一样的，只是两个加数的位置进行了调换.可以用“=”把“21+34和34+21”连接起来，即“21+34=34+21”.

3.丰富材料.你能再写几个这样的等式吗？学生写在小纸条上，教师有序呈现学生所列举的等式.（关注例子的全面性，除整数例子外，还有小数、分数等情况）

4.大胆猜想.写这样的等式，有什么秘诀？你们发现这些等式的共同规律了吗？两个数相加，交换加数位置，和不变.

5.线段验证.这两条线段不管用哪两个数表示，它的总长都是“第一条长度+第二条长度=第二条长度+第一条长度”.

6.构建模型.你能用自己喜欢的方式来表示加法交换律吗？根据学生回答，教师相机引导学生用“a+b=b+a”表征加法交换律.

7.抽象概括.两个数相加，交换加数位置，和不变这个规律叫作“加法交换律”，用字母公式来表示就是“a+b=b+a”.

（二）探索“加法结合律”

1.提出问题.刚才我们研究两个数相加存在这样的规律.如果三个数相加会不会产生新的规律，我们接着研究它.

2.计算得数.你想怎么算？请在本子上用“递等式”计算出得数.

3.算法交流.并引导学生联系线段图，说一说每一种算式的意义.

算法一：21+34+66=（21+34）+66（先算第一条线段加上第二条线段，再加上第三条线段，算出了正确答案）.

算法二：21+34+66=21+（34+66）（先算第二条线段加上第三条线段，再加上第一条线段，也算出了正确答案）.

4.分析等式.在刚才的学习中，我们发现不管用哪种方法计算，结果都等于121，都是求三条线段的总长，这两个算式可以用“=”连成一个等式.教师相机板书：（21+34）+66=21+（34+66）.

5.部落建构.同学们，这个等式里面藏着小秘密，我们以部落为单位，根据学习单上的提示来研究它.

学习单部落长：观察1（21+34）+66=21+（34+66）

观察等号左右两边的式子，说一说你的发现猜想1部落讨论，形成猜想验证1想办法验证你们的猜想概括1符号表示：6.部落反馈.引导学生紧紧抓住“等式两边哪变了，哪不变”进行交流，从而发现：三个数相加，“先算第一、二两个加数，再加上第三个加数与先算第二、三個加数，再加上第一个加数”的最后答案是一样的.在计算过程中，加数的先后位置不发生变化，变的只是运算的先后顺序.

7.归纳规律.三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这叫作加法结合律.并追问：“前两个”“后两个”分别是什么意思？最后呈现字母表征公式：“（a+b）+c=a+（b+c）”.

三、完善认知，深化模型

1.寻找规律.师生共同回忆、寻觅加法交换律和加法结合律在前面教材中的身影.

2.运用提升.

（1）基础题：填填说说，下面的算式分别运用了什么运算定律？

15+20=20+；

（44+67）+33=44+（67+）；

15+34+85+66=（+）+（+）.

（2）拓展题：第三个加数印刷模糊，请你猜猜是几？

30+58+（）=30+60.

3.比较异同.比较加法交换律和加法结合律异同点：“什么不变？什么变了？”使学生明确：这两个定律相同的地方就是“和不变”；而加法交换律变的是加数的位置，加法结合律变的是运算顺序.正如德国数学家开普勒所说：“数学就是研究千变万化中不变的关系.”

4.引申猜想.“在加法中，交换两个加数的位置和不变.”关于这个结论，你还能提出哪些猜想？仿照加法结合律，你又会做出怎样的猜想呢？课后可以尝试举例验证.

【板书设计】

加法运算定律

观察21+34=34+21（21+34）+66=21+（34+66）

猜想100+2=2+100（102+136）+144=102+（136+144）

验证78+50=50+78（207+25）+45=207+（25+45）

概括……

加法交换律

两个数相加，

交换加数的位置，

和不变.

a+b=b+a

加法结合律

三个数相加，

先把前两个数相加，

或者先把后两个数相加，

和不变.

（a+b）+c=a+（b+c）

【教学评析】

运算定律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”.在运算定律的探索与理解过程中，其模型建构的过程是学生数学学习的重要内容之一.学生学习加法交换律和结合律的过程，其实就是对模型思想的感悟过程.因此，教学中要更多地引导学生经历探索，体验知识的产生，主动发现数学规律，学会数学表达，发现数学模型，进而体悟模型之美.在本节课的设计中，笔者重视以下几点：

一、依托生活情境，渗透模型

新课标指出：模型思想的起点是从现实生活或具体情境中抽象出信息，对问题进行必要的简化.加法运算定律虽然是一种高度抽象的数学模型，但它仍源于实践，与生活现实有着密切的关系.教学时，教师引导学生对现实生活中的问题进行感知理解，重视生活问题的抽象概括和数学化过程，使“生活问题”上升为“数学问题”，为模型思想的初步渗透奠定基础.

对于加法交换律的发现与概括过程，笔者创设厦门风景区旅游的情境，在解决“鼓浪屿到同安影视城相距多远”的具体问题中发现运算定律的原型，初步体会运算规律.同时，也借助现实情境的素材来理解运算定律.借助情境，学生很容易就列出了“21+34=55”和“34+21=55”，这两个式子都能解决“鼓浪屿到同安影视城有多远”这一问题，并理解到“鼓浪屿到同安影视城的路程与同安影视城到鼓浪屿的路程是一致的”.结合线段图，学生抽象理解到了这里的每一段除了可以表示整数，还可以表示小数或分数.但不管它表示的是什么数，“第一段长度加第二段长度”一定会等于“第二段长度加第一段的长度”.加法结合律的教学亦是如此，即“前两条线段长度加第三条线段长度”也一定会等于“后两条线段长度加第一条线段长度”.这样的设计，依托具体的生活情境帮助学生将原来零散的感性认识上升为理性认识，促使学生对原有知识进行更新、深化、突破和超越，准确把握从现实“生活原型”到抽象的“数学模型”的过渡过程，有效渗透模型思想，促进模型的构建.

二、重视自主探索，建构模型

数学活动是让学生经历“数学化”和“再创造”过程的活动，教师要引导学生从实际生活原型或具体问题情境出发，引导学生充分地开展观察、比较、举例、归纳、概括等数学活动，去掉数学问题中非本质的东西，用数学语言或数学符号进行表述，提炼出数学模型.

在探索加法交换律时，首先从生活情境出发，通过列式、计算、对比，得出“21+34=34+21”这组等式.在理解算式意义的基础上，让学生再写几个这样的等式，进而引导学生观察思考、分析比较，发现等式之间蕴含的规律.进而大胆猜想、线段验证.而后让学生用自己喜欢的方法来表示规律，让学生初步构建具有“个性”的加法交换律模型.最终将个性化的加法交换律模型抽象成字母的模型“a+b=b+a”.教学中不仅注意思想方法的渗透，还让学生从字母表示中感受数学的简约美与对称美.加法结合律学习则引导学生借助探究加法交换律的研究方法，加大对学生的放手力度，设计开放的部落活动探究，让学生按照学习单上提示的四个步骤进行自主探索、合作交流.学生再次经历运算定律的形成过程，从而获得成功的学习体验.这样的教学，需要引导学生从大量的同类事物的不同例證中发现它的本质属性，概括出等式的共同特征，并用数学方式表达，这是一个从感性到理性、从具体到抽象的过程，其实质就是一个数学建模的过程.

三、完善认知结构，凸显模型

模型思想的形成是一个综合性的过程，在回顾反思中建立模型是形成模型思想的核心.教师要善于从学生的实际出发，突出运算定律产生的现实背景，精心设计活动，及时捕捉课堂生成，凸显模型的应用价值.

本节课加法交换律和结合律虽是小学运算定律的起始课，而运算定律在计算中的应用学生已然有所接触，比如，10以内的分与合的看图列式，加法验算及凑十法的解题思路，等等.只不过前面教学没有出现定律的名称.教学中，师生共同回忆、寻觅加法运算定律在前面教材中的身影.这样的“参透”处理，由浅入深、由表及里地再次认识数学模型、感悟模型思想.同时，在学生充分理解加法运算定律内涵的基础上，引导学生进行加法交换律和加法结合律之间的对比和辨析，明确这两个运算定律之间的相同点和不同点，为加法运算定律的建模和应用提供了可能.分析比较中，学生发现：这两条运算定律的共同点是——和不变；不同点是——加法交换律中变的是加数的位置，加法结合律中变的是运算顺序.教师适时板演，充分体现了“变与不变”的思想，从而拓展学生的认知结构，发展学生的数学思维.

总之，加法运算定律作为数的运算中的一块内容，它承载着丰富的数学内涵.教学中，不仅要明晰解决问题的思路，获得数学结论，更重要的是在观察思考、举例验证中建立清晰的数学表象，构建数学模型，体悟模型之美.