由一道高考题引申——函数构造类问题

广东省惠州市惠东县惠东中学 李秉权

2015年的高考时过境迁，但作为一线教师的教学研究并未终止。高考试题是命题专家组集体智慧的结晶，是今后备考复习的第一手素材，通过研究高考试题能使我们搞清命题的动向、命题的趋势，为今后的复习教学奠定基础。特别是广东省刚在2016年才使用全国卷的背景下，研究近几年的高考题意义重大。下面笔者就2015年全国II理科12题引申到构造函数类问题。从一题多解、推广总结和变式探究方面进行研究。

一、一题多解

题目：（2015全国II卷理科12）设函数是奇函数的导函数，当x＞0时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）

题干中有一个条件很难理解：像这种导数函数混合不等式如何应用呢？下面笔者给出以下两种解法。

解法1：构造抽象函数法

实际上，当我们看到这个式子的特征，不难想到求导除法法则就有类似的特征，因此我们可以构造一个分式函数，则刚好导数的分子部分就出现了题干中的式子。

∵当x＞0时，则当x＞0时，F′(x)＜ 0，即F(x )在(0 , +∞)为减函数，

即x＜0当时，函数在为增函数，且

若，则x与同号，即

∴易知时

解法2：构造具体函数法

题中为抽象函数，如果我们能构造出一个满足题意的具体函数来求解会更简单。

因为为奇函数，

我们可以考虑为多项式，则只能含奇次项，尝试构造

代入题中检验，满足条件，当x＞0时，

小结：本题解法一更具普遍性，属于通法，这也给我们做这种题一个思考方向，以后只要看到这种导数（或含函数混合式子）的不等关系，就可以考虑构造新函数，而构造的时候一定要联系函数的导数的四则运算和复合运算法则，像本题中就是求导除法法则（求导除法法则口诀分子部分：上导下不导减去下导上不导），故很容易构造，然后解题就很方便了。

二、推广总结

同学们可能还会遇到很多类似构造函数类的题目，总结如下。

（1）利用和差函数求导法则构造

（2）利用乘除函数求导法则构造（乘法中间用“+”，减法中间用“-”）

三、变式探究

变式1、已知为R上的可导函数，且均有则有（ ）

变式2.(2011辽宁11) 函数f(x)的定义域为对任意则的解集为( )

解法1:由则由得，选B.

解法2:设在R上为增函数。由

∴x＞−1，选B.

四、结束语

在高中数学教学中，若能根据高考试题的特点一题多解教学，结合学生的实际情况进行变式教学，并推广总结同类问题的结论，能有效的培养学生推理能力与知识的迁移能力和归纳总结能力，使学生从整体上把握知识的内在规律，收到“解一题，带一片”的效果，帮助学生摆脱“题海”之苦，又促进了学生知识能力的高效正迁移，大幅度提高复习的有效性。