“球”与计数问题结奇缘

■广东省广州市海珠外国语实验中学 姜云异

“球”与计数问题结奇缘

■广东省广州市海珠外国语实验中学 姜云异

题目 5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每盒至多放1个球,共有多少种放法?

解析:由于球都相同,盒子不同,每盒至多放1个球,所以只要选出5个不同的盒子,就可以解决问题,这是一个组合问题。因此, 5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每盒至多放1个球,共有C58=56(种)放法。

点评:组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关。

变式1 5个不同的球,放入8个不同的盒子中,每盒至多放1个球,共有____种放法。

解析:由于球与盒子均不同,每盒至多放1个球,所以这是一个排列问题。可直接从8个不同的盒子中取出5个盒子进行排列(即放球),所以,共有A58=6720(种)放法。

点评:本题与原题比对仅一字之差,答案却相差万里,因为一个“不”字,组合问题演变成了排列问题,可见审题是何等重要。

图1

变式2 编号为A, B,C,D,E的5个小球放在如图1所示的5个盒子里,要求每个盒子只能放1个小球,且A球不能放在1,2号盒子,B球必须放在与A球相邻的盒子中,不同的放法有多少种?

解析:根据A球所在位置分三类:

(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的3个盒子放球C, D,E,则根据分步乘法计数原理得,此时有=6(种)不同的放法;

(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C, D,E,则根据分步乘法计数原理得,此时有=6(种)不同的放法;

(3)若A球放在4号盒子内,则B球可以放在2号,3号,5号盒子中的任何一个,有种不同放法。余下的3个盒子放球C,D, E,有A33种不同的放法。根据分步乘法计数原理得,此时有A13A33=18(种)不同的放法。

综上所述,由分类计数原理知不同的放法共有6+6+18=30(种)。

点评:因A球的放法有限制,故以A球所在位置分类,每一类中的计数用了乘法原理(排列),最后再加法原理算出结果。

变式3(2014年福建高考卷)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球。由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来。依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )。

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

解析:从5个无区别的红球中取出若干个球,可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球,共6种情况,则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5;从5个无区别的蓝球中取出若干个球,由所有的蓝球都取出或都不取出,得其所有取法为1+b5;从5个有区别的黑球中取出若干个球,可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球,共 6种情况,则其所有取法为,根据分步乘法计数原理得,适合要求的所有取法是(1+a+ a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5。故选A。

点评:本题背景新颖独特,考查了两个计数原理的基本应用。解答本题要求同学们必须具备较的强阅读理解能力与分析问题、解决问题的能力。

(责任编辑 徐利杰)