六种情境下动量定理解题策略

2017-06-19河南省洛阳市第二中学王春旺

中学生数理化(高中版.高二数学) 2017年5期

■河南省洛阳市第二中学王春旺

六种情境下动量定理解题策略

■河南省洛阳市第二中学王春旺

动量定理是高中物理的重要规律之一,其内容为物体在一个过程始末的动量的变化量等于它在这个过程中所受力的冲量,表达式为p'-p=I或Δp=Ft。动量定理给出了冲量与动量变化的关系,动量定理表明冲量是使物体动量变化的原因。由动量定理可得F=,即物体所受合外力等于物体动量的变化率,该式是牛顿第二定律的又一种表达式。可以运用动量定理求解的试题通常有以下六种情境。

情境一:日常生活情境

解题策略:解释与动量定理相关的日常生活现象时,需要从物体的动量变化和作用力、作用时间两个角度分析。在动量变化相同的情况下,若需要增大作用时间,则可以减小作用力;若需要增大作用力,则可以减小作用时间。

下列对几种常见物理现象的解释中,正确的是( )。

A.砸钉子时不用橡皮锤,只是因为橡皮锤太轻

B.跳高时在沙坑里填沙,是为了减小冲量

C.推车时推不动,只是因为推力的冲量为零

D.动量相同的两个物体受到相同的制动力的作用,两个物体将同时停下来

解析:砸钉子时不用橡皮锤,一是因为橡皮锤太轻,质量m小,则动量改变量小,二是因为橡皮锤有弹性,使得砸钉子的缓冲时间延长,由动量定理Ft=Δp可知,作用于钉子的作用力F小,选项A错误。跳高时在沙坑里填沙,是为了增大力的作用时间,由动量定理Ft=Δp可知,可以减小对人的作用力,而冲量等于动量变化,因此不能减小冲量,选项B错误。推车时推不动,是因为车受到的合力为零,合力的冲量为零,但推力不为零,推力的冲量不为零,选项C错误。由动量定理可知,动量相同的两个物体受到相同的制动力,将同时停下来,选项D正确。答案为D。

情境二:与弹性绳或弹簧相关情境

解题策略:轻弹簧、弹性绳中的弹力作用时间比较长,且该力为变力。蹦极运动中采用弹性绳,增大了力的作用时间,减小了弹性绳对人的作用力。

蹦极是一项勇敢者的运动。如图1所示,某人用弹性橡皮绳拴住身体自高空P处自由下落,在空中感受失重的滋味。若此人的质量m=50kg,橡皮绳的自然长度l0=20m,人可以看成质点,取g=10m/s2。

图1

(1)此人从P处由静止下落至运动停止瞬间所用时间t=4s,求弹性橡皮绳对人的平均作用力。

(2)若橡皮绳相当于一根劲度系数k= 100N/m的轻弹簧,且弹簧弹力满足胡克定律F=kx,x为弹簧的形变量。分析此人从P处下落到什么位置时具有最大速度。

解析:(1)此人自高空P处自由下落,由自由落体运动规律得l0=gt21,解得自由落体运动的时间t1=2s。弹性橡皮绳中有弹力作用的时间t2=t-t1=2s。设弹性橡皮绳对人的平均作用力为F,则由动量定理得mgt-Ft2=0,解得F=1000N。

(2)当弹簧弹力等于重力时,此人的加速度为零,速度最大。由mg=kx,解得x= 5m。所以此人从P处下落到距离跳台的高度h=l0+x=25m时,速度最大。

情境三:流体情境

解题策略:在动量定理的相关计算中,若物体所受冲力远大于物体重力,则一般忽略物体重力。在求解与动量定理相关的流体问题时,一般选择微元,不考虑微元的重力。

(2016年高考全国Ⅰ卷)某游乐园入口旁有一喷泉,喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见,假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出;玩具底部为平板(面积略大于S);水柱冲击到玩具底板后,在竖直方向上水的速度变为零,在水平方向上朝四周均匀散开。忽略空气阻力,已知水的密度为ρ,重力加速度大小为g。求:

(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量。

(2)玩具在空中悬停时,其底面相对于喷口的高度。

解析:(1)在水刚从喷口喷出一段很短的Δt时间内,可认为喷出的水柱保持速度v0不变。该时间内,喷出水柱的高度Δl= v0Δt,喷出水柱的质量Δm=ρΔV,其中ΔV为水柱体积,满足ΔV=SΔl,解得喷泉单位时间内喷出的水的质量为=ρv0S。

(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h,由玩具受力平衡得F冲=Mg,其中F冲为水柱对玩具底部的作用力,由牛顿第三定律得F压=F冲,其中F压为玩具底部对水柱的作用力,v'为水柱到达玩具底部时的速度,由运动学公式得v'2-v20=-2gh。在很短时间Δt内,冲击玩具底部水柱的质量Δm=ρv0SΔt。在竖直方向上,对该部分水柱应用动量定理得(F压+Δmg)Δt=Δmv',因为Δt很小,Δmg也很小,可以忽略,所以F压Δt=Δmv'。联立以上各式解得

情境四:人体触地情境

解题策略:人体触地情境包括各种情况下的触地,例如,跳高时通常在地面上铺海绵垫子,打篮球时穿鞋底具有弹性的篮球鞋,跳远时需要采用沙坑,体操运动员在着地时屈腿等,这些措施都是为了延长作用时间,减小作用力。在求解与动量定理相关的人体触地问题时,一般不能忽略重力,可以利用动量定理列方程解答。

据统计,人在运动过程中,脚底在接触地面瞬间受到的冲击力是人体自身重力的数倍。为探究这个问题,某实验小组的同学利用落锤冲击的方式进行了实验,即通过一定质量的重物从某一高度自由下落冲击地面来模拟人体落地时的情况。重物与地面的形变很小,可忽略不计,取g=10m/s2。某次实验过程中的相关数据如表1。

表1

(1)请你选择所需数据,通过计算回答下列问题:

a.重物受到地面的最大冲击力时的加速度大小为多少?

b.在重物与地面接触的过程中,重物受到的地面施加的平均作用力是重物所受重力的多少倍?

(2)如果人从某一确定高度由静止竖直跳下,为减小脚底在与地面接触过程中受到的冲击力,可采取什么具体措施?请你提供一种可行的方法并说明理由。

解析:(1)a.设重物受到地面的最大冲击力时加速度的大小为a,由牛顿第二定律得Fmax-mg=ma,解得a=90m/s2。

(2)如果人从某一确定高度由静止竖直跳下,为减小脚底在与地面接触过程中受到的冲击力,由动量定理可知,可采取延长作用时间的方法。具体措施是:鞋底用弹性较好的橡胶、海绵等制作,地面加铺海绵垫子等。

情境五:板—块情境

解题策略:对于板—块模型,涉及时间时,一般运用动量定理列方程解答,涉及位移时,一般运用动能定理列方程解答。

如图2所示,质量mA=4kg的木板A放在水平面C上,木板与水平面间的动摩擦因数μ=0.24,木板右端放着质量mB=1kg的小物块B(可视为质点),它们均处于静止状态。木板突然受到水平向右的瞬时冲量I=12N·s开始运动,当小物块滑离木板时,木板的动能Ek=8J,小物块的动能Ek'=0.5J,取重力加速度g=10m/s2,求:

图2

(1)瞬时冲量作用结束时木板的速度v0。

(2)木板的长度L。

解析:(1)取水平向右为正方向,由动量定理得I=mAv0,解得v0=3m/s。

(2)设小物块离开木板时,木板和小物块的速度分别为vA和vB,由动能定理得解得vA=2m/s,vB=1m/s,Ek0=18J。设木板对小物块、小物块对木板、水平面对木板的滑动摩擦力的大小分别为fAB、fBA、fCA,小物块在木板上滑行的时间为t,则-(fBA+fCA)t=mAvA-mAv0,fABt= mBvB,fAB=fBA,fCA=μ(mA+mB)g,解得fAB=fBA=4N,fCA=12N。设木板、小物块相对于水平面的位移大小分别为sA和sB,则-(fBA+fCA)sA=Ek-Ek0,fABsB=Ek',解得m。因此木板的长度L=sA-sB=0.5m。